专题20 利用导数研究零点问题-2020年江苏省高考数学考点探究

专题20 利用导数研究函数的零点问题 专题知识梳理 运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点与难点，解决此类问题的难点①是函数形式的有效选择;②函数与方程的相互转化;③数形结合思想的灵活运用．本专题主要研究运用数形结合思想探究函数零点问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用. 函数的零点问题主要涉及了转化思想，如方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数的值域问题． 在解决函数的零点问题需要注意以下几点：(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件，判零点个数还是要根据函数的单调性、对称性或者结合函数的图象． 研究函数的零点(方程根)的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 考点探究 【例1】已知函数， 则方程实根的个数为 【例2】（2017·江苏卷）设f(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0，1)上，其中集合D=，则方程f(x)－lgx=0的解的个数是 . 【例3】（2018·苏州三模）如果函数y＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1，x2，x3，满足|xi－2|f(xi)＝1(i＝1，2，3)，则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)＝aex具有性质Ω，则实数a的取值范围为________________． 题组训练 1.（2018·镇江模拟）已知k为常数，函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四个不同的解，则实数k的取值集合为________________． 2.设函数f(x)=(x+1)ln x,g(x)=,是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由. 3.已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x(a∈R,e为自然对数的底数). (1) 当a=1时,求f(x)的单调区间; (2) 若函数f(x)在上无零点,求a的最小值. 4.已知函数（是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值． 5.已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是 ． 6.（2018·江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为______． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题20 利用导数研究函数的零点问题 专题知识梳理 运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点与难点，解决此类问题的难点①是函数形式的有效选择;②函数与方程的相互转化;③数形结合思想的灵活运用．本专题主要研究运用数形结合思想探究函数零点问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用. 函数的零点问题主要涉及了转化思想，如方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数的值域问题． 在解决函数的零点问题需要注意以下几点：(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件，判零点个数还是要根据函数的单调性、对称性或者结合函数的图象． 研究函数的零点(方程根)的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 考点探究 【例1】已知函数， 则方程实根的个数为 【解析】根据题意， 分情况讨论： 当时，有1个解，此时有一个根. 当时，单调递增，且，，此时有一个根. 当时，先减后增，且，， 此时与有两个交点，即有两个根. 综上，方程的实根共有4个. 【例2】（2017·江苏卷）设f(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0，1)上，其中集合D=，则方程f(x)－lgx=0的解的个数是 . 【解析】由于，则需考虑1≤x＜10的情况，在此范围内，且时，设，且p，q互质，若lgxQ，则由lgx(0，1)，可设，且m，n互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1，0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且x=1