专题10 导数的概念及几何的意义、导数的运算-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题10 导数的概念及几何的意义、导数的运算 【名师预测】 导数的几何意义及导数的运算是江苏高考常考题型，不仅在填空题会出现，还会出现在解答题中的前两问，重点考查求函数的切线方程，学生需牢记求解函数的切线方程的步骤及相关注意点。 【知识精讲】 一、导数的概念 1．平均变化率 函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为. 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数. 3．瞬时变化率 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 4．导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即. 【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率. 5．导函数的概念 如果函数在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数，于是在区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数(简称导数)，记为或，即. 二、导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即. 【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解． （1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0)； （2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))； 第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 三、导数的 运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)=C(C为常数) = f (x)=sin x f (x)=cos x f (x)=ln x 2．导数的运算法则 （1）. （2）. （3）. 3．复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【典例精练】 考点一 导数的运算 例1．求下列函数的导函数： （1）； （2）； （3）； （4）. 考点二 导数的几何意义 例2．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为________． 例3．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝(m＞0)在x＝1处的切线为l，则点(2，－1)到直线l的距离的最大值为________． 例4．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(2)＝________. 例5．在曲线y＝x－(x＞0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0＝________. 例6．已知函数f(x)＝bx＋ln x，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________． 例7．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________. 例8．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. （1）求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 【名校新题】 一、填空题 1．（2019·盐城期中）在平面直角坐标系中，曲线在处的切线方程是___________． 2．（2019·溧阳中学第二次阶段测试）已知函数，则______． 3．（2019·常州期末）若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数________. 4．（2019·淮海中学月考）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数等于______ 5．（2019·苏州期末）曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______． 6．（2019·苏北七市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与曲线相切于点，则的值为_____． 7． （2019·南京六校12月联考）设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是_____． 8．（2018·淮安高三期中）已知函数f(x)＝x3.设曲线y＝f(x)在点P(x1，f(x1))处的