2.2 空间向量的运算（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§2　空间向量的运算 授课提示：对应学生用书第14页 一、空间向量的运算 空间向量的运算 定义(或法则) 运算律 空间向量的加减法 加法 设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，以OA、OB为边作平行四边形，则对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b，如图． ①结合律：(a＋b)＋c＝b＋a； ②交换律：a＋b＝a＋(－b)空间向 减法 a－b＝a＋(b＋c)，其中－b是b的相反向量 量的数乘 λa是一个向量， 大小：|λa|＝|λ||a|， 方向：当λ>0时，λa与a方向相同； 当λ<0时，λa与a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 ①λa＝aλ(λ∈R)； ②λ(a＋b)＝λa＋λb，(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)； ③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R) 空间向 量的数量积 空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b ①交换律：a·b＝b·a； ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R) 与数量 积有关 的结论 ①|a|＝； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) [来源:Zxxk.Com] 二、共线向量基本定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λ B. 三、单位向量 对于任意一个非零向量a，把叫作向量a的单位向量，记作a0.a0与a同方向． [想一想] 1．(a·b)·c与c有什么关系？(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？ 提示：由数量积的定义知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉是一个数，从而(a·b)·c与c共线，又a·(b·c)＝(b·c)·a是与a共线的一个向量，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． 2．a＝λb是向量a与b共线的充要条件吗？ 提示：不是．由a＝λb可得出a，b共线．而由a，b共线不一定能得到a＝λb，如当b＝0，a≠0时． [练一练] 3．已知向量a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列式子正确的是(　　) A．a0＝b0 B．a0＝1 C．a0，b0共线 D．|a0|＝|b0| 解析：向量a，b不一定是共线向量，因此，当a，b不共线时，a0，b0也不共线，此时a0，b0不相等，故A，C错误；向量与数量不能比较，故B错；单位向量的模都是1，因此|a0|＝|b0|.故选D. 答案：D[来源:学&科&网Z&X&X&K] 4．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b－c B．c－a－b C．c＋a－b D．c＋a＋b 解析：＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c＝c－a－ B. 答案：B 5．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a，b共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：由a·b＝|a||b|cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a与b共线；反过来，若a，b共线，则cos θ＝±1，a·b＝±|a||b|.故a·b＝|a||b|是a，b共线的充分不必要条件． 答案：A 6．如图，在平行六面体ABCDEFGH中，若＝x －2y ＋3z ，则x＋y＋z等于__________． 解析：易知＝＋＋＝＋＋，则x＝1，y＝－，z＝，故x＋y＋z＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第15页 探究一　空间向量的线性运算 [典例1]　如图所示，在四面体O­ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为△ABC的重心，试用a、b、c表示向量和. [解析]　已知D为BC的中点，E为△ABC的重心，则点E在直线AD上，且满足AE∶ED＝2∶1，所以＝， (1)由平行四边形法则易得：＝(＋)＝(b＋c)． (2)＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋×(＋)＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)． 在进行向量的加减法运算时要牢记加减法的运算法则，最终的表达方式是唯一的，但在具体的解题过程中，注意封口多边形法则的应用，只要形成封闭图形即可，在解题过程中注意灵活选择． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知空间四边形ABCD，如图，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式： (1)＋＋； (2)＋(＋)； (3)－(＋)． 解析：(1)＋＋＝＋＝. (2)＋(＋)＝＋＋ ＝＋＋＝. (3)－(＋)＝－＝. 2．如图所示，在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中． (1)化简－－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量； (2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量． 解析：(1)－－＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋0＋＝. 在图中所示如下