1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积（课件+作业）-2019-2020学年高中数学必修二【优化探究】同步导学案（北师大版）

7.2　棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 考　纲　定　位 重　难　突　破 1.记住柱体、锥体、台体的体积的计算公式． 2.会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题. 重点：求简单几何体的体积、球的表面积和体积． 难点：空间问题的平面处理方法． 疑点：计算问题中对多种情况的讨论易忽略. 授课提示：对应学生用书第25页 [自主梳理] 　柱、锥、台的体积公式 几何体 公式 说明 柱体 V柱体＝Sh S为柱体的底面积， h为柱体的高 锥体[来源:Zxxk.Com] V锥体＝Sh S为锥体的底面积， h为锥体的高 台体 V台体＝(S上＋S下＋ )·h S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高 [双基自测] 1．长方体的三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积为(　　) A．7　　　　　　　　 B．8 C．3 D．6 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则则V＝abc＝＝＝6. 答案：D 2．圆锥SO的底面半径是1，高为2，则圆锥SO的体积是(　　) A. B．2π C．4π D．6π 解析：V＝Sh＝π·r2·h＝π×12×2＝. 答案：A 3．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为的等边三角形，则该圆锥的体积为(　　) A．3π B.π C. D.π 解析：设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高为r，由题意，得×(2r)2＝，得r＝1，所以该圆锥的体积V＝π×12×＝π. 答案：B 4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． 解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面面积是×2＝3，高为1，故其体积V＝Sh＝3×1＝3. 答案：3 5．设正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为________． 解析：正六棱锥的高h＝＝， ∴V＝Sh＝××22×6×＝6. 答案：6 授课提示：对应学生用书第26页 探究一　柱体的体积问题 [典例1]　(1)如图，某简单几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　) (2)如图①是一个正三棱柱ABC­A1B1C1，D是棱BC的中点，正三棱柱的主视图如图②.求正三棱柱ABC­A1B1C1的体积． [解析]　(1)由该几何体的主视图、左视图可知该几何体一定是柱体，其高为1，体积为，因此底面面积为，结合选项分析知俯视图应为D.故选D. (2)由三视图可知，在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在底面即等边△ABC中，AB＝＝＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝BC·AD·AA1＝×2××3＝3. [答案]　(1)D　(2)见解析 求柱体的体积关键是求其底面面积和高，底面面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解． 1．将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比． 解析：设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r. 由已知可得两个圆锥的底面半径分别为＝r，＝r， 所以两圆锥的体积之比为 ＝. 探究二　锥体的体积问题 [典例2]　如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求棱锥的体积． [解析]　∵VM是棱锥的高，∴VM⊥MC. 在Rt△VMC中， MC＝＝＝3(cm)． ∴AC＝2MC＝6(cm)． 在Rt△ABC中，BC＝＝＝2(cm)． S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)， ∴V锥＝S底·h＝×8×4＝(cm3)． ∴棱锥的体积为 cm3. 1．锥体的体积公式V＝Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥． 2．三棱锥的体积求解具有灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，使得转换后，该三棱锥的底面的面积易求、可求，高易求、可求，这一方法叫作等积法． 2．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个正三棱锥的体积． 解析：如图所示为正三棱锥S－ABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC. ∵△ABC是边长为6的正三角形， ∴AE＝×6＝3，∴AH＝AE＝2. 在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2， ∴SH＝＝＝. 在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9， ∴VS－ABC＝×9×＝9，即这个正三棱锥的体积为9. 探究三　台体体积的问题 [典例3]　如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台