2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式（课件+作业）-2019-2020学年高中数学必修二【优化探究】同步导学案（北师大版）

1.5　平面直角坐标系中的距离公式 考　纲　定　位 重　难　突　破 1.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式． 2.能根据平面图形建立适当的平面直角坐标系． 3.会用距离公式和解析法解决几何问题. 重点：根据图形建立坐标系，利用距离公式解决几何问题． 难点：利用距离公式解决实际问题． 方法：数形结合思想在距离问题中的应用. 授课提示：对应学生用书第44页 [自主梳理] 一、两点间的距离公式 一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式|AB|＝ . 二、点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝. [双基自测] 1．点(6,8)到原点的距离为(　　) A．6 B．8 C．10 D．14 解析：由两点间的距离公式得d＝＝10. 答案：C 2．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)和C，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 解析：|AB|＝＝2， |BC|＝＝1， |AC|＝＝， ∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，∴△ABC为直角三角形． 答案：C 3．已知点A(－2，－1)，B(a,3)且|AB|＝5，则a的值为________． 解析：由两点间距离公式，得＝5，解得a＝1或a＝－5. 答案：1或－5 4．若x轴正半轴上的点M到原点的距离与到点(5,3)的距离相等，则点M的坐标为________． 解析：设M(x,0)，则x2＋02＝(x－5)2＋(0－3)2，解得x＝，∴M. 答案： 5．已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值． 解析：设P(x,0)，则有 |PA|＝＝； |PB|＝ ＝； 由|PA|＝|PB|，可得 ＝； 解得x＝－，从而得P，且|PA|＝. 授课提示：对应学生用书第45页 探究一　两点间距离公式的应用 [典例1]　已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，AB的中点M. (1)试判断△ABC的形状； (2)求AB边上的中线CM的长． [解析]　(1)|AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝3， 因为|AB|＝|AC|≠|BC|，所以△ABC为等腰三角形． (2)由题易得AB边上的中线CM的长为 |CM|＝＝. 1．已知两点的坐标求两点间的距离时，要注意距离公式的正确应用，被开方式是两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和，不能将横、纵坐标混用． 2．判断平面图形的形状时，可以利用边长的关系，也可以利用角的关系，同时要注意合理运用相关图形的一些性质． 1．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程． 解析：∵点B在直线l1上，∴设B(x0,6－2x0)． ∵|AB|＝5，∴＝5， 整理，得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5. ∴点B的坐标为(1,4)或(5，－4)． ∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0. 探究二　用解析法证明几何问题 [典例2]　用解析法证明：ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2. [解析]　分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0,0)． 则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2， |BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2. ∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2. 1．解析法证明几何问题的步骤： (1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件； (2)进行有关的代数运算； (3)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 2．重点提示：坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系． 2．已知AO是△ABC边BC的中线． 求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)． 由两点间距离公式得 |AB|2＝(x＋a)2＋y2，|AC|2＝(x－a)2＋y2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2. |AO|2＝x2＋y2，|OC|2＝a2， |AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 探究三　点到直线的距离公式 [典例3]　求点P0(－1,2)到下列直线的距离． (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. [解析]　(1