专题15 导数的概念及其运算-2020年江苏省高考数学考点探究

专题15　导数的概念及其运算 专题知识梳理 1．导数的概念 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的求导法则 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 考点探究 考向1　导数概念及基本函数的导数 【例】利用导数的定义解答下列问题. (1)求f(x)=在x=1处的导数; (2)求f(x)=的导数. 题组训练 求下列函数的导数： (1)y＝ex＋cosx； (2)y＝xlnx； (3)y＝log2x－x2＋. 考向2　导数几何意义及其简单应用 【例】(1) 已知曲线S:y=-x3+x2+4x及点P(0,0),那么过点P的曲线S的切线方程为　　　　.  (2) 已知函数f(x)=xln x,过点A作函数y=f(x)图象的切线,那么切线的方程为　　　　　　.  （3）（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线上，且该曲线在点A处的切线经过点为自然对数的底数，则点A的坐标是______． 题组训练 1. 已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________． 2.曲线y=x-cosx在点处的切线方程为　　　　.  3.已知曲线C1:y=x2与C2:y=-(x-2)2,若直线l与C1,C2都相切,则直线l的方程为　　　　　　.  考向3　导数定义中的简单含参问题 【例】(1) 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则实数a=　　　　.  (2) 已知函数f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m等于　　　　. 题组训练 1.若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 2.设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________. 3.已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________． 4.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则实数a=　　　　.  5.（拔高题）设曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上某点处切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为　　　　.  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题15　导数的概念及其运算 专题知识梳理 1．导数的概念 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)． 2．导数的几何意义 函数y