2019秋人教版高中数学必修三（ppt+word）：1.3算法案例 (2份打包)

1.3　 算 法 案 例 主题1　更相减损术与辗转相除法 1.注意到4 557=1 953×2+651,那么4 557和1 953的公约数和1 953与651的公约数有什么关系? 提示:显然4 557与1 953的最大公约数也是651的约数,同样1 953与651的公约数也是4 557的约数. 2.1 953=3×651+0,因此1 953和651的最大公约数为651.由此可得出4 557和1 953的最大公约数是多少? 提示:4 557和1 953的最大公约数为651. 3.设两个正整数m>n,若m-n=k,则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等吗? 提示:相等. 4.反复利用上述原理如何求396与216的最大公约数? 提示:由396-216=180, 216-180=36, 180-36=144, 144-36=108, 108-36=72, 72-36=36, 故36是396与216的最大公约数. 结论: 1.辗转相除法 (1)辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正 整数的___________的古老而有效的算法. 最大公约数 (2)辗转相除法的算法步骤 第一步,给定两个__________. 第二步,计算__________________. 第三步,________. 第四步,______,则m,n的最大公约数等于__;否则,返回 _______. 正整数m,n m除以n所得的余数r m=n,n=r 若r=0 m 第二步 2.更相减损术的步骤 第一步,任意给定两个_______,判断它们是否都是___ ___.若是,________;若不是,执行_______. 正整数 偶 数 用2约简 第二步 第二步,以_________减去_________,接着把所得的差 与较小的数比较,并以___________,继续这个操作,直 到_____________为止,则这个数(等数)或这个数与约 简的数的_____就是所求的最大公约数. 较大的数 较小的数 大数减小数 所得的数相等 乘积 【对点训练】 1.用更相减损术可求得78与36的最大公约数是 (　　) A.24　　　　　B.18　　　　　C.12　　　　　D.6 【解析】选D.先用2约简得39,18;然后辗转相减得39-18=21,21-18=3,18-3=15,15-3=12,12-3=9,9-3=6,6-3=3.所以所求的最大公约数为3×2=6. 2.用辗转相除法求294和84的最大公约数时,需要做除法的次数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.294=84×3+42,84=42×2. 主题2　秦九韶算法 1.如何计算多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢?统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么? 提示:f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.由计算统计可得出共需做10次乘法运算,5次加法运算. 2.若将多项式变形为f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1统计计算x=5时的计算的种类及计算次数分别是什么? 提示:从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果. 结论:秦九韶算法的步骤 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成 如下形式: f(x)= ________________________________ (…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0, 求多项式的值时,首先计算_______________________ _____,即v1=_______,然后_________逐层计算一次多项 式的值,即v2=_______,v3=_______,…, vn=_______, 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项 式的值. 最内层括号内一次多项式 的值 anx+an-1 由内向外 v1x+an-2 v2x+an-3 vn-1x+a0 【对点训练】 1.用秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+ 6x4+5x5+3x6,当x=-4时,v3的值为 (　　) A.-845 B.220 C.-57 D.34 【解析】选C.依题意n=6,由递推公式有v3=v2x+a3, v2=v1x+a4,v1=v0x+a5,v0=a6=3,则v1=3×(-4)+5=-7, v2=(-7)×(-4)+6=34,v3=34×(-4)+79=-57. 2.用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 当x=-2时的值为______________.  【解析】f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 =((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1, 而