2019秋人教版高中数学选修1-1（ppt+word）：第2章 2.2 2.2.2 双曲线的简单几何性质 (3份打包)

第2课时　 双曲线方程及性质的应用 类型一　双曲线的渐近线与离心率 【典例1】(1)(2017·天津高考)已知双曲线 (a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方 程为 (　　) (2)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C: (a>0, b>0)的一条渐近线方程为y= ,且与椭圆 有公共焦点,则C的方程为 (　　) (3)已知双曲线 (mn>0)的一条渐近线方程为 y= ,则该双曲线的离心率e为__________.  【解题指南】(1)可根据离心率与渐近线找出a,b,c的 关系,进而求出双曲线方程. (2)根据渐近线方程先确定 ,又由公共焦点推导出c的 值,再根据a,b,c的关系可求出双曲线方程. (3)焦点位置不确定,需要分类讨论,根据e= 求解. 【解析】(1)选B.由题意得,a=b, =1,c=4,a=b= , 所以双曲线方程为 (2)选B.由题意可得: c=3,又a2+b2=c2, 解得a2=4,b2=5, 则C的方程为 (3)当m>0,n>0时, 所以 e= 当m<0,n<0时, e= 故该双曲线的离心率为 或 答案: 【方法总结】 1.由渐近线设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y= 的双曲线方程可设为: (λ≠0). (2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的 方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0). (3)与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为 (λ≠0). 2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 (1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意e= 及判断焦点的位置. (2)已知渐近线方程y=mx(m>0)求离心率时,当焦点不确 定时,m= 或m= ,因此离心率有两种可能. 【跟踪训练】 1.设双曲线 (a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为 ,则双曲线的渐近线方程为 (　　) A.y=± x B.y=±2x C.y=± x D.y=± x 【解析】选C.由已知得到b=1,c= ,a= , 因为双曲线的焦点在x轴上,故渐近线方程为y= 2.已知双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点分别 为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在一点P使 ,则该双曲线的离心率的取值范围是________.  【解析】因为在△PF1F2中,由正弦定理得 所以 <1,又因为|PF1|-|PF2|=2a, 所以点P在双曲线的右支上,且不与右顶点重合,所以由 定义|PF2|= >c-a,所以e< +1,又因为e>1,所以 该双曲线的离心率的取值范围是1<e< +1. 答案:1<e< +1 类型二　直线与双曲线的位置关系 【典例2】已知双曲线C: (a>0,b>0)的离心率 为 ,过双曲线的右焦点作斜率为 的直线被双曲线 截得的线段长为16. (1)求双曲线C的方程. (2)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值. 【解题指南】(1)联立直线方程与双曲线方程,利用弦长公式及离心率求解双曲线方程. (2)转化为利用向量的夹角公式求∠AOB的余弦值为定值即可得证. 【解析】(1)设直线与双曲线交点坐标为(x1,y1), (x2,y2). 因为e= ,所以b2=c2-a2=2a2,所以C: .设 双曲线的右焦点为F(c，0),则过焦点的直线方程为y= ,代入双曲线的方程消去y整理得x2-6cx+3c2 +2a2=0,所以x1+x2=6c,x1·x2=3c2+2a2,所以16= 又因为离心 率为 ,解得c= ,a=1, 所以b2=2,所以双曲线的方程为x2- =1. (2)点P(x0,y0)(x0y0≠0)在圆x2+y2=2上,圆在点P(x0,y0) 处的切线方程为x0x+y0y=2.由 及 =2得 x2-4x0x+8- =0, 因为切线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且0< <2, 所以3 -4≠0,且Δ=16 -4(3 -