2019秋人教版高中数学选修1-1（ppt+word）：第3章 3.2 3.2.1　几个常用函数的导数 (3份打包)

3.2　导数的计算 第1课时　几个常用函数的导数与 基本初等函数的导数公式 主题　基本初等函数的导数 1.函数y=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)= 的 导数分别是什么? 提示:y=f(x)=c的导数是y′=0,y=f(x)=x的导数是y′ =1,y=f(x)=x2的导数是y′=2x,y=f(x)= 的导数是 y′= 2.结合1中探究你能总结出函数f(x)=xα的导数吗? 提示:由于0=0·x0-1,1=1·x1-1,2x=2·x2-1, =-1· x-1-1,由此可猜想:y=f(x)=xα的导数是y′=α·xα-1. 3.怎样理解常见函数f(x)=c,f(x)=x,f(x)=x2的导数的物理意义? 提示:对于f(x)=c,由于f′(x)=0,其物理意义为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态;对于f(x)=x,由于f′(x)=1,其物理意义为某物体的瞬时速度为1的匀速运动;对于f(x)=x2,由于f′(x)=2x,其物理意义为物体的变速运动. 结论:基本初等函数的导数公式 α·xα-1 cos x -sin x 原函数 导函数 f(x)=c f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=________ f(x)=sin x f′(x)=______ f(x)=cos x f′(x)=_________ axln a ex 原函数 导函数 f(x)=ax f′(x)=______(a>0) f(x)=ex f′(x)=__ f(x)=logax f′(x)=_____(a>0且a≠1) f(x)=ln x f′(x)= 【对点训练】 1.已知f(x)=x2,则f′(3)等于 (　　) A.0 B.2x C.6 D.9 【解析】选C.因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x, 所以f′(3)=6. 2.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为　　　　.  【解析】因为y′=(ex)′=ex,所以k=e2, 所以曲线在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2), 即y=e2x-e2. 当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=1. 所以S△= ×1×|-e2|= e2. 答案: e2 类型一　常用函数的导数 【典例1】(1)下列结论中正确的个数为 (　　) ①y=ln 2,则y′= ;②y= 则y′|x=3= ③y= 2x,则y′=2xln 2;④y=log2x,则y′= A.0 B.1 C.2 D.3 (2)函数y= 在点 处的导数值是 (　　) A.4 B.-4 【解题指南】(1)直接利用常用函数的导数公式即可. (2)可先求出函数y= 的导数,再代入求值. 【解析】(1)选D.若y=ln 2,则y′=0,故①错;若y= 则y′= 所以y′|x=3= ②对;若y=2x,则y′= 2xln 2,③对,④也对. (2)选B.因为y′= 所以当x= 时,y′=-4. 【方法总结】求简单函数导数的策略 (1)看形式:首先观察函数的形式,看是否符合基本初等 函数的形式,如对于形如 的函数一般先转 化为幂函数的形式,再用幂函数的求导公式求导. (2)化简:对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形,将其化成基本初等函数或与之相接近的函数形式,如将根式、分式化为指数式,利用幂函数求导. (3)选公式:选择恰当的公式求解函数的导数. 提醒:区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆. 【跟踪训练】 1.已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,则a的值等于 (　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 【解析】选A.f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4,a=4. 2.已知f(x)=cos x,g(x)=x,求适合f′(x)+g′(x)≤0的x的值. 【解析】因为f(x)=cos x,g(x)=x, 所以f′(x)=(cos x)′=-sin x,g′(x)=x′=1, 由f′(x)+g′(x)≤0,得-sin x+1≤0, 即sin x≥1,但sin x∈[-1,1], 所以sin x=1, 所以x=2kπ+ ,k∈Z. 类型二　求函数在某点处的导数 【典例2】(1)求函数y=ax在点P(3,f(3))处的导数. (2)求函数y=ln x在点P(5,ln 5)处的导数. 【解题指南】解答本题可先求出函数的导函数,再求导函数在相应点的函数值. 【解析】(1)因为y=ax,所以y′=(ax)′=ax·ln a, 则y′|x=3=a3·ln a. (2)因为y