2019秋人教版高中数学选修1-1（ppt+word）：第3章 3.3 3.3.1　函数的单调性与导数 (3份打包)

3.3　导数在研究函数中的应用 3.3.1　函数的单调性与导数 主题1　函数的单调性与导数的关系 1.观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系, (1)观察图象,完成下列填空. 图①中的函数y=x的导函数y′=__,此函数的单调递增 区间为__________; 图②中的函数y=x2的导函数y′=___,此函数的单调递 增区间为________,单调递减区间为________. 图③中的函数y=x3的导函数y′=___,此函数的单调递 增区间为__________; 1 (-∞,+∞) 2x (0,+∞) (-∞,0) 3x2 (-∞,+∞) 图④中的函数y= 的导函数y′=_____,此函数的单 调递减区间为________________. (-∞,0),(0,+∞) (2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系? 提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此时对应的函数为增函数,当导函数在某区间上小于0时,此时对应的函数为减函数. 2.观察下图, 请完成下表: 减 正 正 >0 <0 区间 (-∞,a) (a,b) (b,+∞) y=f(x) 增 ___ 增 切线斜率 ___ 负 ___ f′(x) ___ ___ >0 结论:在区间(a,b)内函数的单调性与导数的关系 增 减 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递___ f′(x)<0 单调递___ f′(x)=0 常函数 【对点训练】 1.函数f(x)=x+ln x在(0,6)上是 (　　) A.单调增函数 B.单调减函数 C.在 上是减函数,在 上是增函数 D.在 上是增函数,在 上是减函数 【解析】选A.因为x∈(0,6),所以f′(x)=1+ >0,故 函数在(0,6)上单调递增. 2.已知函数f(x)= +ln x,则有 (　　) A.f(2)<f(e)<f(3) B.f(e)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(e)<f(2) D.f(e)<f(3)<f(2) 【解析】选A.因为在定义域(0,+∞)上,f′(x)= >0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以有f(2)<f(e) <f(3). 【补偿训练】函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为 (　　) A.增函数　　　　　 B.减函数　　 C.先增后减　 D.先减后增 【解析】选C.y′=-6x,故当x∈(-1,0)时,y′>0;当x∈(0,1)时,y′<0,所以原函数在区间(-1,1)上先增后减. 主题2　函数变化的快慢与导数的关系 1.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y= y=x2, y=x3的图象. 提示:这几个函数的图象如图所示. 2.观察以上函数的图象,当x>0时,函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么? 提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小. 结论:函数变化的快慢与导数间的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的_________ ___,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图 象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就 “平缓”. 绝对值较 大 大 小 大 小 导数符号 导数变化 原函数图象变化 大于0为正 导数越来越___ 越来越陡峭 导数越来越___ 越来越平缓 小于0为负 导数越来越___ 越来越平缓 导数越来越___ 越来越陡峭 【对点训练】 1.函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是 (　　) 【解析】选D.从原函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足. 2.已知导函数y=f′(x)的图象如图所示,请根据图象写出原函数y=f(x)的单调递增区间是　　　　.  【解析】从图象可知f′(x)>0的解为-1<x<2或x>5,所以f(x)的单调递增区间为(-1,2),(5,+∞). 答案:(-1,2),(5,+∞) 类型一　函数单调区间的判断及求解 【典例1】(1)设f(x)=x-sin x,则f(x) (　　) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 (2)求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间. 【解题指南】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sin x的奇偶性,利用导数判断其单调性. (2)先求导