2019秋人教版高中数学选修1-1（ppt+word）：第3章 3.1 3.1.3　导数的几何意义 (3份打包)

3.1.3　 导数的几何意义 主题1　导数的几何意义 1.如图(1),l1是否为曲线在点A处的切线?l2是否为曲线在点B处的切线?l2是否为曲线在点C处的切线? 提示:l1不是曲线在点A处的切线;l2是曲线以点B为切点的切线,不是以点C为切点的切线. 2.你能不能类比圆的割线和切线的动态关系,结合图(2)直观地感知,当Pn→P时对应的一般曲线的切线? 提示:当Pn→P时,割线趋于确定的位置,这个确定位置上的直线就是曲线在点P处的切线. 3.问题2从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程,进一步,如图(3)如何研究割线方程和切线方程的变化关系? 提示:割线逼近切线,不妨设点P(x0,y0),Pn(x0+Δx, f(x0+Δx)).割线PPn的方程为y-f(x0)= 当Pn→P,即Δx→0时,变化的最终结果是 故切线方程就是y-y0= f′(x0)(x-x0). 结论:导数的几何意义 曲线y=f(x)在点___________处的切线的斜率,用符号 表示为f′(x0)=__________________=__. P(x0,f(x0)) k 【对点训练】 1.曲线y= 在点 处的切线的斜率为 (　　) A.4 B.2 C.1 D. 【解析】选A.令y=f(x)= 所以 所以由导数的几何意义可得曲线 在点 处的切线的斜率为4. 2.已知函数f(x)= 区间[0,Δx]. (1)求函数在Δx=0.1,0.01,0.001时的平均变化率(精 确到0.01). (2)根据曲线的割线的极限位置是切线的方法求函数 f(x)的图象在原点处的切线方程. 【解析】(1)因为 所以函数在Δx= 0.1,0.01,0.001时的平均变化率分别为 (2)由(1)可知当Δx>0,Δx→0时, →+∞, 所以函数f(x)的图象在原点处的切线方程为x=0. 【补偿训练】过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为　　　　.  【解析】依题意得,割线的斜率为 答案:1 主题2　导数的概念 已知函数y=x2,完成下表: 2 4 6 8 10 12 x 1 2 3 4 5 6 f′(x) __ __ __ __ ___ ___ 结论:导函数的定义 当x变化时,f′(x)是x的一个函数,称它为f(x)的导函 数(简称导数),即f′(x)=y′=_________________. 【对点训练】 1.曲线y=x-2在x=0.1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 (　　) A.1.5 B.22.5 C.300 D.2 000 【解析】选B.因为y=x-2在x=0.1处的导数为f′(0.1) 所以曲线y=x-2在x=0.1处的切线斜率为-2 000, 所以曲线y=x-2在x=0.1处的切线方程为y-0.1-2= -2 000(x-0.1), 令x=0,得y=300,令y=0,得 所以曲线y=x-2在x=0.1处的切线与坐标轴围成的三角 形的面积为 2.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐 标分别为(0,4),(2,0),(6,4),试求 的值. 【解析】由导数的概念和几何意义知, 类型一　导数几何意义的应用 【典例1】(1)如图,点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象为图中的 (　　) (2)已知函数f(x)的图象如图所示,下列数值的排序正确的是 (　　) A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 【解题指南】(1)根据切线的倾斜程度,判断出函数升降的快慢,从而得到函数的变化趋势图. (2)从图象上可以看出f(2)与f(3)的大小,且其值大于1;再由导数的几何意义,看出f′(2)与f′(3)的大小且其值小于1. 【解析】(1)选D.函数的定义域为(0,+∞),当x∈[0,2] 时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大, 即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大,因此,函数S=f(x)的 图象是上升的,且图象是下凸的;当x∈(2,3)时在单位 长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小,即斜率 f′(x)在(2,3)内越来越小,因此,函数S=f(x)的图象是上升的,且图象是上凸的;当x∈[3,+∞)时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0,即斜率f′(x)在[3,+∞)内为常数0