2019秋人教版高中数学选修1-1（ppt+word）：第3章 3.3 3.3.2　函数的极值与导数 (3份打包)

3.3.2　 函数的极值与导数 主题　函数极值的概念及求法 观察图象回答下面问题 1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系? 提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点的函数值都小 . 2.f′(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律? 提示:f′(a)=0,在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0. 3.函数在点x=b处的情况呢? 提示:函数在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0. 结论:极大(小)值的概念 (1)函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近 其他点的函数值都小,且____________,在点x=a附近的 左侧____________,右侧____________,则a叫做极小值 点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. f′（a）＝0 f′（x）＜0 f′（x）＞0 (2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近 其他点的函数值都大,且____________,在点x=b附近的 左侧____________,右侧____________,则b叫做极大值 点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. f′（b）＝0 f′（x）＞0 f′（x）＜0 【对点训练】 1.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x) (　　) A.在(-∞,0)上为减函数 B.在x=1处取极小值 C.在x=2处取极大值 D.在(4,+∞)上为减函数 【解析】选D.由导函数的图象可得在(-∞,0),(2,4)上导数是正数,y=f(x)是增函数,在(0,2),(4,+∞)上导数是负数,y=f(x)是减函数,所以y=f(x)在x=0,4处取极大值,在x=2处取极小值,所以A,B,C都是错误的,只有D正确. 2.下列四个函数中,能在x=0处取得极值的是 (　　) ①y=x3;②y=x2+1;③y=cos x-1;④y=2x. A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 【解析】选B.①④为单调函数,不存在极值. 3.如图是导函数y=f′(x)的图象,函数y=f(x)的极大值点是______,极小值点是__________.  【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故点x2为极大值点, 因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为正,故点x4为极小值点. 答案:x2　x4 类型一　求函数的极值 【典例1】(1)对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2); ④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值. 其中正确的命题有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)设函数f(x)= +ln x,则 (　　) A.x= 为f(x)的极大值点 B.x= 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 (3)求函数f(x)= 的极值. 【解题指南】求导后写出定义域内的单调区间,根据单调区间确定函数极值. 【解析】(1)选B.f′(x)=3x2-6x. 令f′(x)=3x2-6x>0,得x>2或x<0; 令f′(x)=3x2-6x<0,得0<x<2. 所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减. 当x=0和x=2时,函数分别取得极大值0和极小值-4. 故①②错,③④对. (2)选D.函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= 当x=2时,f′(x)=0; 当x>2时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数; 当0<x<2时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数,所以x=2为函 数f(x)的极小值点. (3)函数f(x)= 的定义域为(0,+∞), 且f′(x)= ,令f′(x)=0,得x=e, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: x (0,e) e (e,+∞) f′(x) + 0 - f(x) ↗ ↘ 故当x=e时,函数取得极大值f(e)= ,无极小值. 【方法总结】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)定区间求导:确定函数的定义区间,求导数f′(x). (2)解方程:求方程f′(x)=0的根. (3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.