基础数学 01 高中数学中的“齐天大圣”-《中学生数理化》高考版·自主招生 2019年9月刊（理化）

自招数学23年中学生数理化 高中数学中的“齐天大圣” ■吴吉云 ¨齐次式”在高中数学中出现的频率比较 解:根据a2 c2及题设知 高。对“齐次式”的处理关键是化二元为 元,即化繁为简,化陌生为熟悉。下面我们从M(c·a),2。=4,得2b2=30c,将b2=a 多种题型中玩转“齐次式”,去感受多题一解 c2代入2b2=3ac得:2a2-2c2=3ac(关于a 的奇妙 1.齐次式在三角函数中的应用 b,c的二次齐次式),解得 1.1齐次式在三角函数化简求值中的 应用 (舍去)。故C的离心率为。。 例1已知a是三角形的内角,tana 小结:本题体现了“齐次式”在解析几何 3,求5=千2 Os a 的值 中的应用,因2a2-2c2=3ac等号两侧满足 Os a 齐次,故可同除以正数a2,实现二元“a”“ 解:sna-4cO sin a+2cos a stan a+2 7 向一元“”的转化。 小结:当所求式子为关于sina与cosa 3.齐次式在不等式中的应用 的“齐”次分式时,分子分母同时除以cosa或 例4已知正实数x,y,z,满足x2+ cOs2a可以转化为关于tana的式子 y2=2x2,求2的最大值 1.2齐次式在正弦定理中的应用 例2设△ABC的内角A,B,C所对的 解:由x2+ 边分别为a,b,c,若 bcos c+ CCOs B a sin a,则△ABC的形状为 解:依据题设条件的特点,由正弦定理 2,所以 得 sin bcos c+ cos Bsin=sin2A,有sin(B 且仅当一=—,即x=y时,等号成立。所以 C)=sin2A,从而sin(B+C)=sinA sin2A,解得sinA=1,所以A=,故该三角 形为直角三角形 小结:本题体现了“齐次式”在不等式中 小结:当式子是关于边a,b,c或关于的应用,x2+y2=2x2,两边同除以x2,实现三 sinA,sinB,sinC的“齐次式”时,可用正弦 元“x”,“y”,“z”向二元 的转化,再 定理进行化简 2.齐次式在解析几何中的应用 利用重要不等式进行求解即可 结束语:齐次式在高中数学解题过程中 例3设F1F2分别是椭园C:a+b2是比较活跃的,在解决相关知识的齐次式时, 1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点 如果我们能灵活准确地观察出式子的特征 且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另 用减元思想进行化简,就可以大大提高我们 的解题速度和准确度 个交点为N,若直线MN的斜率为,求C 作者单位:山西省吕梁市离石区江阴高 的离心率。 级中学