专题14 函数模型及其应用-2020年江苏省高考数学考点探究

专题14 函数模型及其应用 专题知识梳理 1．数学模型及数学建模 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述． 数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法． 2．常见的函数模型 ①__一次函数__；②__二次函数__；③__指(对)数函数、幂函数__． 3．三种增长型函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 4．解函数应用题的步骤 第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答． 考点探究 考向1　利用函数图象刻画变化过程的实际问题 【例】某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)． (1) 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2) 已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． ① 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ② 问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 题组训练 1.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间(单位：分钟)满足的函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为____． 考向2 已知函数模型解决实际问题 【例】盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召,对环境进行了大力整治目前盐城市的空气质量位列全国前十,吸引了大量的外地游客某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园数据显示,近期公园中每天空气质量指数近似满足函数,其中x为每天的时刻若在凌晨6点时刻,测得空气质量指数为． 求实数m的值； 求近期每天在时段空气质量指数最高的时刻参考数值： 题组训练 1.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量升关于行驶速度千米小时的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米． Ⅰ当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升？ Ⅱ当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 2.如图,OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线为方便游客光,拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元百米,40万元百米,建立如图所示的直角坐标系xoy,则曲线符合函数模型,设,修建两条道路PM,PN的总造价为万元,题中所涉及的长度单位均为百米． 求解析式； 当x为多少时,总造价最低？并求出最低造价． 3.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿． 当时,判断该项目能否获利？如果获利,求出最大利润；如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ 该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？ 考向3 构造函数模型的实际问题 【例】某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥如图将河两岸的路连接起来,剖面设计图纸图如下, 其中,点A,E为x轴上关于原点对称的两点,曲线段BCD是桥的主体,C为桥顶,并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为,曲线段AB,DE均为开口向上的抛物线段,且A