专题3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第三篇 三角函数与解三角形 专题3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 【考纲要求】 1.理解同角三角函数的基本关系式： 　sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 【命题趋势】 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及恒等变换；解决三角形内的相关问题. 【核心素养】 本讲内容主要考查数学运算的核心素养.. 【素养清单•基础知识】 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)． 2．诱导公式 一 二 三 四 五 六 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan_α 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z(”的终边所在的象限.＋α(k∈Z(”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z(”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k· 【素养清单•常用结论】 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. 【真题体验】 1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） A． B． C． D． 2.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若，则（ ） A． B． C． D． 3. 【2018年高考江苏卷】已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 4．tan 330°＝(　　) A． B．－ C． D．－ 5．(2017·全国卷Ⅲ改编)已知sin α－cos α＝，则sin αcos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 6．若tan α＝2，则的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 7．cos＝__________.－sin 【考法拓展•题型解码】 考法一　同角三角函数关系及其应用 归纳总结：同角三角函数关系在解题中的应用 (1)利用方程思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．对于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”． (2)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解． 【例1】 (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ (2)(2019·唐山模拟)已知2sin αtan α＝3，则cos α的值是(　　) A．－1 B．－ C． D． 【例2】 (1)已知tan α＝2，求值： ①；②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α. (2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值． 考法二　诱导公式及应用 归纳总结 (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一名，统一角，同角名少为终了． (2)学会诱导公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y＝sin中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．，能将y＝sin＝sin (3)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍． 【例3】 (1)计算：2sin＝