专题3.3 三角函数的图像和性质-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第三篇 三角函数与解三角形 专题3.3 三角函数的图像和性质 【考纲要求】 1. 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性． 3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 4．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题. 【命题趋势】 1.三角函数的图象，主要考查三角函数的图象变换、三角函数解析式的求法及三角函数图象的应用． 2．三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性． 3．高考中常以选择、填空题的形式考查三角函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数的奇偶性及对称性，属于中低档题． 4．以解答题的形式考查三角函数的单调性、最值，常与平面向量、解三角形及三角恒等变换相结合. 【核心素养】 本讲内容主要考查数学运算和直观想象的核心素养。 【素养清单•基础知识】 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理： 在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(2π，0)．，(π，0)， 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(2π，1). ，(π，－1)， 函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点(. (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在(k∈Z)上是递减函数(k∈Z)上是递增函数，在 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数 周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是 对 称 性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z) 对称中心是 (k∈Z) 三角函数性质的注意点： (1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调． (2)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆. 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ 4．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 5．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 (1)两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度． (2)变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 【素养清单•常用结论】 1．对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ (k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋ (k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【真题体验】 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的