2019-2020学年人教B版数学选修1-1（课件+教师用书+课时分层作业）第3章 导数及其应用 (共26份打包)

3.1　导数 3.1.1　函数的平均变化率 3.1.2　瞬时速度与导数 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度．(易混点) 2.会求函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x)．(重点) 3.会利用导数的定义求函数在f(x)的导函数f′(x)．(难点) 1.由实际背景变化率到导数的概念，培养学生的数学抽象素养. 2.通过利用定义求函数在某点处导数的学习提升学生的数学运算素养. 1．函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：. ＝ (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率． ＝ 思考1：观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率表示什么？＝ [提示]　表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率． 2．瞬时变化率 (1)物体运动的瞬时速度 设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当t0到t0＋Δt时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率为趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度． (2)函数的瞬时变化率 设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率． 3．函数在某一点处的导数与导函数 (1)函数f(x)在x＝x0处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|. ，即f′(x0)＝ (2)导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或y′x、y′)． (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0. 思考2：f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？ [提示]　f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值．f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数．f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值． 1．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A．0.40　　 B．0.41 C．0.43 D．0.44 B　[由Δy＝f(Δx＋2)－f(2)＝(0.1＋2)2－4＝0.41，知选B.] 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于 (　　) A．4　　　　 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 C　[＝4＋2Δx.]＝＝ 3．质点按规律s(t)＝at＋1运动，若t＝2时刻的瞬时速度为，则a的值为________． ]＝a＝ 　[ 函数的平均变化率 【例1】　(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. ①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率； ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率. (2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？ [解]　(1)因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. ＝2Δx＋4x1＋3.＝ ①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21. ②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ＝2Δx＋4x1＋3＝19.2. (2)在x＝1附近的平均变化率为 k1＝＝ ＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝＝ ＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝＝ ＝6＋Δx. 当Δx＝，＝时，k1＝2＋ k2＝4＋.＝，k3＝6＋＝ 由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大． 求平均变化率的主要步骤 (1(先计算函数值的改变量Δy＝f(x2(－f(x1(； (2(再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；