专题2.8 函数与方程-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.8 函数与方程 【考纲要求】 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解 【命题趋势】 函数的零点及其应用问题是热点，经常考查函数零点存在的区间、零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容，难度不大. 【核心素养】 本讲内容主要考查直观想象和数学建模的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．函数的零点 (1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数. 2．函数的零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 3．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【素养清单•常用结论】 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 【真题体验】 1. 【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则（ ） A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0 2.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Local Settings\\Temp\\ksohtml6304\\wps17.png" \* MERGEFORMAT ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 3.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数有唯一零点，则a=（ ） A． B． C． D．1 4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的零点个数为________． 5.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 6.【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【考法拓展•题型解码】 考法一　函数零点所在区间的判断 解题技巧：判断函数零点所在区间的方法 (1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断． (2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断． (3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断． 【例1】 (1)函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是(　　) A． B． C．(1,2) D．(2,3) (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 考法二　函数零点个数的判断 解题技巧:函数零点个数的判断方法 (1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅