专题07 对数与对数函数-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题07 对数与对数函数 【名师预测】 江苏高考主要考查对数的运算法则及对数函数图象与性质的应用，以考查对数函数的定义域、值域、单调性为主，一般出现在填空题，难度不大。同时，偶有指数函数、对数函数的综合问题的解答题，且对数函数与导数结合的解答题为高频考点，常常作为一种载体与其他函数结合考查，重点考查对数函数的图象与性质，以及与对数函数有关的综合函数的单调性、奇偶性以及与不等式的知识点的综合考查。 【知识精讲】 1．对数 概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝ 运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0) 2.对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为(0，＋∞) 值域为R 过定点(1,0)，即x＝时，y＝ 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 在区间(0，＋∞)上是函数 在区间(0，＋∞)上是函数 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【典例精练】 考点一 对数式的化简与求值 例1． 计算：（1）4log23＝________. （2）log225·log34·log59＝________. 例2．化简与求值：（）； （）． 例3．已知函数,若,则________． 【方法点睛】对数运算的一般思路 （1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； （2）将同底对数的和、差、倍合并； （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 考点二 对数函数的图象及应用 例4． 如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax(a＞1)的图象上，则实数a的值为________． 例5．若不等式logax＞(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为________． 【方法点睛】研究对数型函数图象的思路 （1）研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1或0＜a＜1这两种不同情况； （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 考点三 对数函数的性质及应用 例6．已知，，，则，，的大小关系是________． 例7．已知一元二次不等式f(x)＞0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，则 f(lg x)＜0的解集为________． 例8．不等式的解集为________． 例9．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． （1）若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； （2）是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 例10．已知函数． （1）判断的奇偶性并加以证明； （2）判断的单调性（不需要证明）； （3）解关于m的不等式． 【方法点睛】 1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 如：求的复合函数的单调区间，其一般步骤为： 1 求定义域，即满足的x的取值集合； 2 将复合函数分解成基本初等函数及； 3 分别确定这两个函数的单调区间； ④若这两个函数同增或同减，则为增函数，若一增一减，则为减函数，即“同增异减”. 2．比较对数值大小的方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论． (2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． 【名校新题】 一、填空题 1．（2019·姜堰中学期中）________. 2．（2019·金陵中学期中）设集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则AB＝___________． 3．（2019·如东中学第二次学情调查）函数的定义域为_______． 4．（2019·徐州12月月考）函数的定义域是，则函数的定义域为_________． 5．（2019·南通4月阶段测试）函数的单调