专题2.2 函数的单调性与最值-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.2 函数的单调性与最值 【考纲要求】 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 【命题趋势】 函数的单调性和最值是高考中的热点问题，考查内容经常是利用单调性求最值或者求参数的取值范围 【核心素养】 本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养 【素养清单•基础知识】 1．增函数、减函数 定义：设函数f(x)的定义域为I： (1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． (2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． 增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． 2．单调性、单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 有关单调区间的两个防范 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 3．函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值． 函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 【素养清单•常用结论】 在公共定义域内： (1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数； (2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数； (3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数； (4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数； (5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 【真题体验】 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则（ ） A． B． C． D． 2．【2019年高考天津理数】已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a>b，则（ ） A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10−10.1 5．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ） 6．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近