专题2.4 二次函数与幂函数-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.4 二次函数与幂函数 【考纲要求】 1. 掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间． 2．了解幂函数的概念． 3．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的图象，了解它们的变化情况.，y＝x 【命题趋势】 1. 二次函数的图象和性质，经常与其他知识综合考查． 2．幂函数的图象和性质，很少单独出题． 3．二次函数的综合应用，经常与导数、不等式综合考查. 【核心素养】 本讲内容主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象与性质 二次函数系数的特征 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小； (2)－的值决定图象对称轴的位置； (3)c的取值决定图象与y轴的交点； (4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数． 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)　 f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)　　 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减上单调递增；在 在上单调递减上单调递增；在 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 3．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 幂函数的特征 (1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2)xα的系数为1； (3)只有一项． 4．五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 公共点 (1,1) 【素养清单•常用结论】 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]． (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m<－，最大值为f(n)；时，最小值为f≤ (3)当，最大值为f(m)；≤n时，最小值为f<－ (4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 3.对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 【真题体验】 1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 3.【2018年高考天津理数】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________. 4.【2017年高考浙江】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m（ ） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 5.【2017年高考山东理数】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．