专题06 函数的单调性-2020年江苏省高考数学考点探究

专题6 函数的单调性 专题知识梳理 1． 函数单调性的定义 （1） 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当 时，都有 （或都有 ，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）． （2） 如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），那么就说f（x）在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做f（x）的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间． 2． 函数单调性的图象特征 对于给定区间上的函数f（x），若函数图象从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图象从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减． 3． 复合函数的单调性 对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈（a，b）时，u∈（m，n），且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 4．函数单调性的常用结论 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，<0⇔f(x)在D上是减函数．>0⇔f(x)在D上是增函数； (2)对勾函数y＝x＋ ，＋∞)，减区间为]和[(a>0)的增区间为(－∞，－和 ． (3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 考点探究 考向1　函数单调性的判断与证明 【例】判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论． 题组训练 1.下列函数中： ①f(x)＝ ②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1) 满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的函数的序号是____________． 2.试讨论函数f(x)＝ (a＞0)在 上的单调性，并证明你的结论． 考向2　求函数的单调区间 【例】函数的单调增区间为________． 题组训练 1.函数y＝的单调增区间为___________；单调减区间为____________． 2.求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝ ． 3.（易错题）求函数 的单调递增区间． 考向3 函数单调性的应用 【例】已知满足对任意,都有成立,那么a的取值范围是________． 题组训练 1.已知函数f(x)＝，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是________________． 2.（易错题）若函数 的单调递减区间是 ，则实数 的取值集合是___________． 3.已知函数f(x)＝(a∈R)在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是________． 4.函数f(x)＝，则a＋b＝________． 在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是 5.（拔高题）使函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，实数k的取值范围是________． 6.（拔高题）函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 考向4 抽象函数的单调性及其应用 【例】 函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1． (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2． 题组训练 1.已知为R上增函数,且对任意,都有,则______． 2.已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m、n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)＞f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是_____________． ①m－n＜0 ②m－n＞0 ③m＋n＜0 ④m＋n＞0 3.设f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， f(2)＝1，且 f(xy)＝f(x)＋f(y)，求满足不等式 f(x)＋f(x－3)≤2的x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题6 函数的单调性 专题知识梳理 1． 函数单调性的定义 （1） 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当 时，都有 （或都有 ，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）． （2） 如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），那么就说f（x）在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做f（x）的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间． 2． 函数