2019-2020年浙教版九年级下册数学讲解课件：1.3 解直角三角形 (3份打包)

学 习 指 要 知识要点 1．在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形ABC的六个元素(三条边a，b，c和三个角∠A，∠B，∠C，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，)中，除直角(∠C)外，其余五个元素之间有如下的关系： (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)． (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. (3)边角之间的关系：sinα＝.(式中的α表示锐角A或锐角B) ，tanα＝，cosα＝ 利用这些关系，知道其中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另外三个未知元素． 重要提示 条件 解法 两条直角边a，b c＝，∠B＝90°－∠A，tanA＝ 一条直角边a及斜边c b＝，∠B＝90°－∠A，sinA＝ 一条直角边a与锐角A ∠B＝90°－∠A，b＝，c＝ 斜边c和一个锐角A ∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA 1．解直角三角形的具体方法： 解直角三角形的关键是选择正确的关系式，我们可以记住这样的口诀“直乘斜除，对正邻余”，即要求直角边可以用乘法，要求斜边只能用除法(不包括用勾股定理求边的情况)．求已知角的对边可以用正弦或正切，求已知角的邻边可以用余弦． 2．在初学解直角三角形时，为了正确、迅速地选择适当的关系式，可以画出图形帮助分析． 解 题 指 导 (1)已知a＝4，b＝8，求c. (2)已知b＝10，∠B＝60°，求a，c. (3)已知c＝20，∠A＝60°，求a，b. 【解析】 (1)c＝.＝4＝ (2)a＝.＝＝，c＝＝＝ (3)a＝c·sinA＝20×＝10.，b＝c·cosA＝20×＝10 【答案】 (1)4，b＝10　(3)a＝10，c＝　(2)a＝ ，∠B＝30°，求AC和AB的长． 图1­3­1 (例2解) 【解析】 如解图，过点C作CH⊥AB，垂足为H. 在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°， ∴CH＝BC·sin 30°＝6，BH＝BC·cos 30°＝6 . 在Rt△ACH中，tan A＝，＝ ∴AH＝8，∴AC＝＝10， AB＝AH＋BH＝8＋6. 【答案】 AC＝10，AB＝8＋6 【例3】 如图1­3­2，从A地到B地的公路需经过C地，其中AC＝10 km，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°.因为城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路AB的长． (2)问：公路改直后比原来缩短了多少千米(参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75)? 图1­3­2 (例3解) 【解析】 (1)如解图，过点C作CH⊥AB于点H.在Rt△ACH中，∵AC＝10，∠CAB＝25°，∴CH＝AC·sin∠CAB＝10·sin 25°＝4.2(km)，AH＝AC·cos∠CAB＝10·cos 25°＝9.1(km)．在Rt△BCH中，BH＝＝5.6(km)，＝ ∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7(km)． 答：改直后的公路AB的长为14.7 km. (2)∵BC＝＝7(km)，∴AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3(km)．＝ 答：公路改直后比原来缩短了2.3 km. 【答案】 (1)14.7 km　(2)2.3 km 按时完成课后同步训练，全面提升自我！ 单击此处进入课后同步训练 $$ 学 习 指 要 知识要点 1．利用解直角三角形的有关知识解决实际问题． 2．仰角和俯角：视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角(如图1­3­7所示)． 3．方位角：从某点的正北方向沿顺 时针方向旋转到目标方向所形成的 水平夹角叫做方位角． 重要提示 利用解直角三角形的方法来解决有关仰角、俯角、方位角问题时，必须理解仰角、俯角、方位角的意义．解这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型，从而灵活运用数学知识解决问题．尤其要注意分清谁是被测量者，而它又可以转化成哪个直角三角形的边或角来解决． 解 题 指 导 (1)求∠BCD的度数． (2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 20°≈0.36， tan 18°≈0.32)． 图1­3­8 　 (例1解) 【解析】 (1)如解图，过点C作CE⊥BD于点E，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°. (2)由题意，得CE＝AB＝30 m. 在Rt△CBE中，BE＝CE·tan 20°≈10