数学必修一2.5.1 几种函数增长快慢的比较（配湘教版）学案

2.5.1 几种函数增长快慢的比较 一、学习目标 1.回顾一次函数、指数函数、对数函数的图形和性质. 2.研究、了解指数函数、对数函数、幂函数模型增长的变化规律. 二、重、难点分析 指数函数、对数函数、幂函数模型增长的变化规律. 三、学习过程 (一)自主预习 阅读课本. 对于直线y=kx+b(k≥0)，指数函数y=ax(a＞1)、对数函数y=logbx(b＞1)研究如下： (1)通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长的块，一次函数比对数函数增长的快. (2)通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象进一步体会：直线上升，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大的惊人，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容.对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度. (二)合作探究 研究指数函数、对数函数、幂函数模型，得到这三类函数增长的变化规律 我们知道，对数函数y=logax(a＞1)，指数函数y=ax(a＞1)与幂函数y=xn(n＞0)在区间(0，+∞)上都是增函数，这三类函数的增长是有差异的. 一般地，对于指数函数y=ax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，通过探索规律可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn. 对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，logax的增长越来越慢，图象就像渐渐与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. 综上所述，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=ax(a＞1)，y=logax(a＞1)和y=xn(n＞0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，y=ax(a＞1)的增长速度越来越大，会超过并远远大于y=xn(n＞0)的增长速度.而y=logax(a＞1)的增长速度则会越来越小.总会存在一个x0，有logax＜xn＜ax. 四、同步练习 1.下列函