专题2.1 函数及其表示（讲）-2020年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题2.1 函数及其表示 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段). 知识点1．函数与映射的概念 (1)函数：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)映射：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 知识点2．函数的表示方法 (1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法． (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法． (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法． 知识点3．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等． 知识点4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 知识点5．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 考点一 求函数的定义域 【典例1】【2019年高考江苏】函数 的定义域是 . 【方法技巧】 (1)求具体函数y＝f(x)的定义域 (2)求抽象函数的定义域一般有两种情况： ①已知y＝f(x)的定义域是A，求y＝f(g(x))的定义域，可由g(x)∈A求出x的范围，即为y＝f(g(x))的定义域； ②已知y＝f(g(x))的定义域是A，求y＝f(x)的定义域，可由x∈A求出g(x)的范围，即为y＝f(x)的定义域． 【变式1】 (2018·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________． 考点二 求函数的解析式 【典例2】（2019·河北唐山一中模拟）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式． 【方法技巧】函数解析式的常见求法 (1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换． (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可． (3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围． (4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 【变式2】（2019·山西省阳泉一中模拟）已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 考点三 分段函数求值 【典例3】（2019·吉林辽源一中模拟）已知f(x)＝＝________.则f 【方法技巧】根据分段函数的解析式求函数值：首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 【变式3】已知 ，则f(7)＝__________________________________. 考点四 求参数或自变量的值(范围) 【典例4】(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1]　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) 【方法技巧】已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论。 【变式4】（2019·湖南雅礼中学模拟）已知函数f(x)＝，则实数a的