2020版数学高分突破大一轮江苏专用（课件+PDF教师用书）：第十九章 计数原理 (共4份打包)

第十九章　 计数原理 １３７　　 第十九章 计数原理 § １９．１　 计数原理与排列组合 对应学生用书起始页码 Ｐ３８６ 考 点 计数原理与排列组合 　 　 １．计数原理 （１）分类计数原理：如果完成一件事，有 ｎ 类方式，在第 １ 类 方式中有 ｍ１ 种不同的方法，在第 ２ 类方式中有 ｍ２ 种不同的方 法，……，在第 ｎ 类方式中有 ｍｎ 种不同的方法，那么完成这件事 共有 Ｎ ＝ｍ１ ＋ｍ２ ＋…＋ｍｎ 种不同的方法． （２）分步计数原理：如果完成一件事，需要分成 ｎ 个步骤，做 第 １ 步有 ｍ１ 种 不 同 的 方 法， 做 第 ２ 步 有 ｍ２ 种 不 同 的 方 法， ……，做第 ｎ 步有 ｍｎ 种不同的方法，那么完成这件事共有 Ｎ ＝ｍ１ ·ｍ２ ·…·ｍｎ 种不同的方法． （３）分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件 一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步． 分类要用分类计数原理，将种数相加；分步要用分步计数原理， 将种数相乘． ２．排列 （１）排列的定义：从 ｎ 个不同的元素中取出 ｍ（ ｍ≤ｎ） 个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ 个 元素的一个排列． （２）排列数的定义：从 ｎ 个不同的元素中取出 ｍ（ ｍ≤ｎ） 个 元素的所有排列的个数，叫做从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ 个元素 的排列数，用符号 Ａｍｎ 表示． （３）排列数公式 ①当 ｍ＜ｎ 时，排列称为选排列，排列数为Ａｍｎ ＝ ｎ（ ｎ－１） （ ｎ－ ２）…（ｎ－ｍ＋１）； ②当 ｍ ＝ ｎ 时，排列称为全排列，排列数为Ａｎｎ ＝ ｎ（ｎ－１） （ｎ－ ２）…２·１． 上式右边是自然数 １ 到 ｎ 的连乘积，把它叫做 ｎ 的阶乘，并 用 ｎ！ 表示，于是 Ａｎｎ ＝ｎ！．进一步规定 ０！ ＝ １，于是， Ａｍｎ ＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）…（ｎ－ｍ＋１） ＝ ［ｎ（ｎ－１）…（ｎ－ｍ＋１）］［（ｎ－ｍ）（ｎ－ｍ－１）…３·２·１］ （ｎ－ｍ）（ｎ－ｍ－１）…３·２·１ ＝ ｎ！ （ｎ－ｍ）！ ，即 Ａｍｎ ＝ ｎ！ （ｎ－ｍ）！ ． ３．组合 （１）组合的定义：从 ｎ 个不同的元素中取出 ｍ（ ｍ≤ｎ） 个元 素并成一组，叫做从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ 个元素的一个组合． （２）组合数的定义：从 ｎ 个不同的元素中取出 ｍ（ ｍ≤ｎ） 个 元素的所有组合的个数，叫做从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ 个元素 的组合数，用符号 Ｃｍｎ 表示． （３）组合数公式 Ｃｍｎ ＝ Ａｍｎ Ａｍｍ ＝ ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）…（ｎ－ｍ＋１） ｍ！ ＝ ｎ！ ｍ！ （ｎ－ｍ）！ ． 规定Ｃ０ｎ ＝ １． （４）组合数的两个性质：①Ｃｍｎ ＝ Ｃ ｎ－ｍ ｎ ；②Ｃ ｍ ｎ＋１ ＝ Ｃ ｍ ｎ ＋Ｃ ｍ－１ ｎ ． （５）区别排列与组合 排列与组合的共同点，就是都要“ 从 ｎ 个不同元素中，任取 ｍ 个元素”，而不同点就是前者要“ 顺序”，而后者却是“ 并成一 组”．因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ３８６ 一、用计数原理解决问题的常用方法 　 　 １．建模法：建立数学模型，将所给的问题转化为数学问题， 这是计数问题中的基本方法． ２．枚举法：利用枚举法（如树状图，表格） 可以使问题的分析 更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设 计思想． ３．直接法或间接法：在实施计算中，可考虑用直接法或间接 法（排除法），用不同的方法，不同的思路来验证结果的正误． ４．分类计数原理和分步计数原理多数情形下是结合使用 的，根据问题特点，一般是先分类再分步，某些复杂情形下，也可 先分步再分类．分类要“不重不漏”，分步要“连续完整”． 将红、黄、绿、黑 ４ 种不同的颜色分别涂入图中的五个 区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同 的涂色方法？ 解析　 解法一：Ａ 区域有 ４ 种不同的涂色方法，Ｂ 区域有 ３ 种，Ｃ 区域有 ２ 种，Ｄ 区域有 ２ 种，但 Ｅ 区域的涂色依赖于 Ｂ 与 Ｄ 涂的颜色，如果 Ｂ 与 Ｄ 颜色相同有 ２ 种涂色方法，不相同，则只 有 １ 种，因此应先分类后分步． ①当 Ｂ 与 Ｄ 同色时，有 ４×３×２×１×２ ＝ ４８（种）； ②当 Ｂ 与 Ｄ 不同色时，有 ４×３×２×１×１ ＝ ２４（种）． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １３８　　 ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（教师用书） 故不同的涂色方法共有 ４８＋２４ ＝ ７２（种）． 解法