2020版数学（理科）高分突破大一轮北京专用（课件） 第六章 数列 (共4份打包)

高考数学 (北京专用) 第六章 数列 §6.1 数列的概念及其表示 A组　自主命题·北京卷题组 五年高考 考点　数列的概念及表示方法 (2019北京理,20,13分)已知数列{an},从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<…<im),若 <  <…< ,则称新数列 , ,…, 为{an}的长度为m的递增子列.规定:数列{an}的任意一项都是 {an}的长度为1的递增子列. (1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列; (2)已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ,长度为q的递增子列的末项的最 小值为 .若p<q,求证: < ; (3)设无穷数列{an}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项 的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{an}的通项公式. 解析　本题通过对数列新概念的理解考查学生的逻辑推理、知识的迁移应用能力;重点考查 逻辑推理、数学抽象的核心素养;渗透数学应用与创新意识,以及由特殊到一般的分类整合思 想. (1)1,3,5,6.(答案不唯一) (2)设长度为q末项为 的一个递增子列为 , ,…, , . 由p<q,得 ≤ < . 因为{an}的长度为p的递增子列末项的最小值为 , 又 , ,…, 是{an}的长度为p的递增子列, 所以 ≤ .所以 < . (3)由题设知,所有正奇数都是{an}中的项. 先证明:若2m是{an}中的项,则2m必排在2m-1之前(m为正整数). 假设2m排在2m-1之后. 设 , ,…, ,2m-1是数列{an}的长度为m末项为2m-1的递增子列,则 , ,…, ,2m-1,2m 是数列{an}的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾. 再证明:所有正偶数都是{an}中的项. 假设存在正偶数不是{an}中的项,设不在{an}中的最小的正偶数为2m. 因为2k排在2k-1之前(k=1,2,…,m-1),所以2k和2k-1不可能在{an}的同一个递增子列中. 又{an}中不超过2m+1的数为1,2,…,2m-2,2m-1,2m+1,所以{an}的长度为m+1且末项为2m+1的递 增子列个数至多为 ×1×1=2m-1<2m. 与已知矛盾. 最后证明:2m排在2m-3之后(m≥2为整数). 假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m-3之前,则{an}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列的个 数小于2m.与已知矛盾. 综上,数列{an}只可能为2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,…. 经验证,数列2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,…符合条件. 所以an=  B组　统一命题·省(区、市)卷题组 考点　数列的概念及表示方法 1.(2019浙江,10,4分)设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1= +b,n∈N*,则 (　　) A.当b= 时,a10>10　    B.当b= 时,a10>10 C.当b=-2时,a10>10　    D.当b=-4时,a10>10 答案    A　本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体,考查学生挖掘事物本质以及推理 运算能力;考查的核心素养为逻辑推理,数学运算;体现了函数与方程的思想,创新思维的应用. 令an+1=an,即 +b=an,即 -an+b=0,若有解, 则Δ=1-4b≥0,即b≤ , ∴当b≤ 时,an= ,n∈N*, 即存在b≤ ,且a= 或 ,使数列{an}为常数列, B、C、D选项中,b≤ 成立,故存在a= <10, 使an= (n∈N*),排除B、C、D. 对于A,∵b= ,∴a2= + ≥ ,a3= + ≥ + = ,a4≥ + = , ∴a5> ,a6> ,…,a10> , 而 = =1+ × + × +…=1+4+ +…>10.故a10>10. 2.(2019上海,8,5分)已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=　　　    . 答案      解析    n=1时,S1+a1=2,∴a1=1. n≥2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2, 两式相减得an= an-1(n≥2), ∴{an}是以1为首项, 为公比的等比数列, ∴S5= = . 3.(2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　    . 答案　-63 解析　解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得an=2an-1, ∴{an}是首项为-1,公比为2的等比数列.∴S6= = =-63. 解法二:由Sn=2an+1