2020版数学（理科）高分突破大一轮课标Ⅱ地区专用（课件）：第九章 直线与圆的方程 (共2份打包)

考点　直线方程与圆的方程 五年高考 A组  统一命题·课标卷题组 1.(2015课标全国Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= (　　) A.2 　    B.8　    C.4 　    D.10 答案    C　解法一:待定系数法(选标准方程形式求圆的参数). 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1,则P(1,-2),|PA|=  =5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 ,则|MN|=|(-2+2 )-(- 2-2 )|=4 . 解法二:待定系数法(选一般方程形式求圆的参数). 设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A,B,C三点的坐标, 得 解得  ∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0. 令x=0,得y2+4y-20=0,∴yM+yN=-4,yM·yN=-20. ∴|MN|=|yM-yN|= = = =4 . 解法三:几何法(利用几何性质确定圆的参数). 由已知得kAB= =- ,kCB= =3, 所以kAB·kCB=-1,所以AB⊥CB,即△ABC为直角三角形,其外接圆圆心为(1,-2),半径为5,所以外接圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,得y=±2 -2,所以|MN|=4 . 2.(2015课标全国Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则 该圆的标准方程为　　　    . 答案     +y2=  解析　由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线 的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x= ,所以圆心坐标为 ,则半径r=4- = .故该圆的标准方程为  +y2= . 思路分析　先求出椭圆的顶点坐标,由圆心在x轴正半轴上和圆的性质确定圆心坐标,进而求 得半径得出结果. 解后反思　由弦的中垂线经过圆心这一性质确定圆心坐标,进而求圆的标准方程,本题若用圆 的一般方程求解运算量较大. 3.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交 于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解析　(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0), 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2= . 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= . 由题设知 =8,解得k=-1(舍去),或k=1, 因此l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 方法总结　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重 利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解. 解得  或  4.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段 AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程. 解析　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由 可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4. 又x1= ,x2= ,故x1x2= =4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 · = =-1,所以OA⊥OB. 故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r= . 由于圆M过点P(4,-2),因此  · =0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4. 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=- . 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为 ,圆M的方程为(x-3)2+(y -1)2=10. 当m=- 时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为 ,圆M的半径为 ,圆M的方程为  + = . 解后反思　直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程