2020版数学（理科）高分突破大一轮课标Ⅱ地区专用（课件）：第十章 圆锥曲线 (共5份打包)

考点一　椭圆的定义和标准方程 五年高考 考点一　集合及其关系 A组  统一命题·课标卷题组 1.(2019课标全国Ⅰ,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若 |AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 (　　) A. +y2=1　    B. + =1　    C. + =1　    D. + =1 答案    B　本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用,考查学生的运算求解能 力,考查了方程的思想方法,体现的核心素养是数学运算,具有很好的创新性. 设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x, |BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,   由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x. 在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2 F1①, 在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·cos∠ BF2F1②, 由①②得x= ,所以2a=4x=2 ,a= ,所以b2=a2-c2=2. 所以椭圆的方程为 + =1.故选B. 思路分析　由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,而b2=a2-1, 故可得椭圆的方程. 疑难突破　利用余弦定理灵活解三角形是突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键. 2.(2019课标全国Ⅲ,15,5分)设F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限. 若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　    . 答案　(3, ) 解析　本题考查椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法; 考查了数学运算的核心素养. 不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,△MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2 |,又由椭圆方程 + =1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=2×6=12, 所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4. 设M(x0,y0)(x0>0,y0>0), 则  解得x0=3,y0= ,即M(3, ). 一题多解　依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cos∠MF1F2= = ,则tan∠MF1F2= . 所以直线MF1的方程为y-0= (x+4). 设M(6cos θ,2 sin θ),因为M点在直线MF1上, 所以2 sin θ= (6cos θ+4), 结合sin2θ+cos2θ=1且sin θ>0,cos θ>0得cos θ= ,sin θ= , 即M点的坐标为(3, ). 3.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C: + =1交于A,B两点,线段AB的中 点为M(1,m)(m>0). (1)证明:k<- ; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且 + + =0.证明:| |,| |,| |成等差数列,并求该数 列的公差. 解析　本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算. (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =1, + =1. 两式相减,并由 =k得 + ·k=0. 由题设知 =1, =m, 于是k=- . ① 由题设得0<m< ,故k<- . (2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0. 又点P在C上, 所以m= , 从而P ,| |= . 于是| |= = =2- . 同理,| |=2- . 所以| |+| |=4- (x1+x2)=3. 故2| |=| |+| |, 即| |,| |,| |成等差数列. 设该数列的公差为d,则 2|d|=|| |-| ||= |x1-x2|=  . ② 将m= 代入①得k=-1. 所以l的方程为y=-x+ ,代入C的方程,并整理得7x2-14x+ =0. 故x1+x2=2,x1x2= ,代入②解得|d|= . 所以该数列的公差为 或- . 思路分析　(1)利用“点差法”建立k与m的关系式,由m的范围得到k的范围. (2)根据题设 + + =0及点P在C上,确定m的值.进一步得出| |、| |、| |的关系,再求 公差. 解后反思　(1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消 元