2019秋人教A版高中数学选修1-1（课件+检测）：第三章3.3-3.3.3函数的最大（小）值与导数 (2份打包)

第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数 A级　基础巩固 一、选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值 B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值 C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值[来源:Z§xx§k.Com][来源:学,科,网] D．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值 解析：由极值与最值的区别知选D. 答案：D 2．函数f(x)＝的最大值为(　　) A．e－1 B．e C．e2 D．10 解析：令f′(x)＝＝0(x>0)，解得x＝e.当x>e时，f′(x)<0；当0<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以f(x)max＝e－1. 答案：A 3．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　) A. B．1 C．不存在 D．0 解析：f′(x)＝x－，且x>0， ＝ 令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1. 所以f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝.－ln 1＝ 答案：A 4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是(　　) A．[0，1) B．(0，1) C．(－1，1) D. 解析：因为f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2， 又因为x∈(0，1)，所以 0＜a＜1. 答案：B 5．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) 解析：令u(x)＝f(x)－g(x)， 则u′(x)＝f′(x)－g′(x)＜0， 所以 u(x)在[a，b]上为减函数， 所以 u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)． 答案：A 二、填空题 6．函数f(x)＝ln x－x在(0，e)上的最大值为________． 解析：f′(x)＝(x>0)，令f′(x)>0得0<x<1，令f′(x)<0得x<0(舍去)或x>1，所以f(x)在(0，1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．所以当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1. －1＝ 答案：－1 7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________． 解析：由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝ ±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝ －1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32. 答案：32 8．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________． 解析：f′(x)＝3x2－3x， 令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1. 因为f(0)＝a，f(－1)＝－＋a， f(1)＝－＋a，所以 f(x)max＝a＝2. 所以 f(x)min＝－.＋a＝－ 答案：－ 三、解答题 9．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围． 解：由f(x)＝)＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e. 是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(时，f′(x)>0.故x＝时，f′(x)<0；当x>.当0<x<(舍去)或x＝.又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－＋2ln x，得f′(x)＝ 所以实数a的取值范围是[e，＋∞)． 10．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x. (1)若a＝0，证明：当－1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0； (2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a. (1)证明：当a＝0时，f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x， f′(x)＝ln(1＋x)－. 设函数g(x)＝f′(x)＝ln(1＋x)－， 则g′(x)＝. 当－1<x<0时，g′(x)<0；当x>0时，g′(x)>0，故当x>－1时，g(x)≥g(0)＝0，当且仅当x＝0时，g(x)＝0，从而f′(x)≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0. 所以f(x)在(－1，＋∞)单调递增． 又f(0)＝0，故当－1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0. (2)解：(ⅰ)若a≥0，由(1)知， 当x>0时，f(x)