2019秋人教A版高中数学选修1-1（课件+检测）：第三章3.4生活中的优化问题举例 (2份打包)

第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例 A级　基础巩固 一、选择题 1．炼油厂某分厂若要将原油精炼为汽油，则需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8 B. C．－1 D．－8[来源:学科网] 解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1. 答案：C 2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(　　)[来源:Z&xx&k.Com] A. D．2 C. B. 解析：设底面边长为x，则表面积S＝V(x>0)．x2＋ 所以S′＝. (x3－4V)．令S′＝0，得x＝ 答案：C 3．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁．要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为(　　) A．16 m，16 m B．32 m，16 m C．32 m，8 m D．16 m，8 m 解析：如图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为. (x>0)，L′＝2－ m．因此新墙总长度L＝2x＋ 令L′＝0，解得x＝16或x＝－16(舍去)． 易得x＝16为极小值点．因为L在(0，＋∞)上只有一个极值点，所以它必是最小值点．当x＝16时，＝32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省． 答案：B 4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝则总利润最大时，年产量是(　　) A．100 B．150 C．200 D．300 解析：设年产量为x时，总利润为y，依题意，得 y＝ 即y＝ 所以y′＝ 由y′＝0，得x＝300. 经验证，当x＝300时，总利润最大． 答案：D 5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为(　　) A. cm B．100 cm C．20 cm D. cm 解析：设高为x cm，则底面半径为 cm， 所以圆锥体积V＝π·(400－x2)·x ＝ (cm3)， V′＝， 令V′＝0，得x＝(舍去)，或x＝ 经判断可得x＝ (cm)时，V最大． 答案：A 二、填空题 6．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为________m时，容器的容积最大． 解析：设高为x m，则V＝x(x＋0.5)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0，1.6)， 所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6. 令V′＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)． 当0<x<1时，V′>0，当1<x<1.6时，V′<0， 所以当x＝1时，容器的容积取得最大值． 答案：1 7．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 解析：设广场的长为x米，则宽为， (x＞0)，所以y′＝2米，于是其周长为y＝2 令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800. 当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米． 答案：800 8．轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶，如果两船同时起航，那么经过________小时两船相距最近． 解析：设经过x小时两船相距y海里，y2＝36x2＋(75－12x)2，(y2)′＝72x－24(75－12x)，令(y2)′＝0，得x＝5，易知当x＝5时，y2取得最小值． 答案：5 三、解答题 9.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少(精确到0.001)时用料最少？ 解：依题意，有xy＋＝8， · 所以y＝)， (0<x<4－＝ 于是框架用料长度为 l＝2x＋2y＋2·.x＋＝ l′＝.－＋ 令l′＝0，即＝0， －＋ 解得x1＝8－4－8(舍去)．[来源:学科网]，x2＝4 当0<x<8－4时，l′<0； 当8－4时，l′>0， <x<4 所以，当x＝8－4时，l取得最小值． 此时，x＝8－4≈2.343，y≈2.828. 即当x约为2.343，y约为2.828时，用料最省． 10．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b