专题08 二次函数与幂函数-2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练

2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练 08 二次函数与幂函数 一、考点传真： 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 二、知识的梳理： 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 [微点提醒] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 三、例题： 例1. (2018年上海高考)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 例2.(2018年天津高考)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． 例3. (2016年全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 例4.（2017年浙江高考）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则 A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 例5.（2015年陕西高考）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A．－1是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D．点在曲线上 四、巩固练习 1.若函数是幂函数，且满足，则 （ ） A. B. C. D. 2.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)(　　) A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增 B.在(－∞，3)上递增 C.在[1，3]上递增 D.单调性不能确定 3.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) 4.定义在R上的函数满足，且，若，则函数在内的零点个数有 （ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 5.已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 7.已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则 （ ） A. B. C. D. 8.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝(　　) A.0 B.1 C. D.2 9.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________. 10. 已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________. 11.已知二次函数f