1.2.1 对应、映射和函数（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（湘教版必修1）

1．2　函数的概念和性质 1．2.1　对应、映射和函数 [学习目标]　1.能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象.2.会判断给出的对应是否是映射.3.能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域.4.能说出函数的三要素． [预习导引] 1．映射 (1)在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射． (2)映射的定义：设A，B是两个非空的集合．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B. (3)在映射f：A→B中，集合A叫作映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的象，记作y＝f(x)，x叫作y的原象． 2．函数 (1)函数就是数集到数集的映射． (2)函数的定义：设A，B是两个非空的数集．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B，或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)． (3)在函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)中，A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的象，记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的值域． (4)函数的三要素：①对应法则；②定义域；③值域. 要点一　映射定义的理解 例1　判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射．哪些不是，为什么？ (1)A＝{x|x∈R＋}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±； (2)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝ (3)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2. 解　(1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射． (2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是映射． (3)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射． 规律方法　判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是不是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”． 一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射． 说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可． 跟踪演练1　下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？ (1)A＝R，B＝R，f：x→y＝； (2)A＝{a|a＝n，n∈N＋}，B＝， f：a→b＝； (3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x； (4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆． 解　(1)当x＝－1时，y的值不存在， ∴不是映射，更不是函数． (2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素． (3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，∵A，B不是非空的数集． 要点二　映射的象与原象 例2　已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x2＋2x. (1)求A中元素－1和3的象； (2)求B中元素0和3的原象； (3)B中的哪一些元素没有原象？ 解　(1)令x＝－1得y＝(－1)2＋2×(－1)＝－1， 令x＝3得y＝32＋2×3＝15， 所以－1的象是－1,3的象是15. (2)令x2＋2x＝0，解得x＝0或－2， 所以0的原象是0或－2. 令x2＋2x＝3.解得x＝1或－3， 所以3的原象是1或－3. (3)由于y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，所以只有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y＜－1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于－1的元素没有原象． 规律方法　1.解答此类问题的关键： (1)分清原象和象； (2)搞清楚由原象到象的对应法则． 2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解． 跟踪演练2　(1)映射f：A→B，A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在集合B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的最少个数是(　　) A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．4 (2)设A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求正弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________，与B中元素相对应的A中的元素是________． 答案　(1)D　(2)　45° 解析　(1)由映射定义知，B中至少有元素1,2,3,4，即B中至少有4个元素，选D. (2)60°角的正弦等于，45°角的正弦等于，所以60°的象是，的原象是45°. 要点三　映射的个数问题 例3　已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集