1.2.6 分段函数（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（湘教版必修1）

1.2.6　分段函数 [学习目标]　1.能说出分段函数的定义.2.能根据题意用分段函数表示函数关系.3.会画出分段函数的图象.4.能求分段函数的函数值或由函数值求自变量的值． [知识链接] 作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线． [预习导引] 1．如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． 2．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数． 3．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 4．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 要点一　分段函数求值 例1　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值． 解　 (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)， －∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. ∵f＝－＋1＝－，而－2<－<2， ∴f[f(－)]＝f＝2＋2× ＝－3＝－. (2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去．当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2. 规律方法　1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 跟踪演练1　已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)[来源:学科网ZXXK] A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2 答案　C 解析　f(2)＝＝1. 要点二　分段函数的图象及应用 例2　已知f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 解　 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0,1]． 规律方法　1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”． 2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象． 3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 跟踪演练2　作出y＝的图象，并求y的值域． 解　y＝ 值域为y∈[－7,7]．图象如下图． 要点三　分段函数的解析式 例3　国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．[来源:Z§xx§k.Com] (1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数关系式； (2)某人出版了一本书，得稿费5200元，那么他应纳税多少元？ (3)某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？ 解　(1)依题意有：当0＜x≤800时，y＝0；[来源:学科网ZXXK] 当800＜x≤4000时，y＝(x－800)×14%； 当x＞4000时，y＝x×11%. 故y与x之间的函数关系式是 y＝ (2)某人得稿费x＝5200，显然x＞4000， ∴y＝5200×11%＝572(元)． 即他应纳税572元． (3)令(x－800)×14%＝420，解得x＝3800∈(800，4000]，而令x×11%＝420，解得x＝3818∉(4000，＋∞)，故x＝3818(舍去)． ∴这个人的稿费为3800元． 规律方法　1.实际问题应仔细审题，明确该函数分段情况，弄清每段上对应解析式及自变量的取值范围． 2．在解析式中，分段点不能重复，也不能遗漏，例如本题中，自变量的三段是0＜x≤800,800＜x≤4000和x＞4000，但不能写成0＜x≤800,800≤x＜4000和x＞4000. 跟踪演练3　某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地后没有停留，再以65千米/时的速度返回A地．试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数． 解　该人从A到B地所用时间为＝5时，从B地返回A地所需时间为＝