1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（湘教版必修1）

1.2.8　二次函数的图象和性质——对称性 [学习目标]　1.能说出奇函数和偶函数的定义.2.会判断具体函数的奇偶性.3.会分析二次函数图象的对称性.4.能求一个二次函数在闭区间上的最值． [知识链接] 函数y＝x的图象关于原点对称，y＝x2的图象关于y轴对称． [预习导引] 1．函数的奇偶性 (1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数； (2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数． 2．二次函数图象的对称性 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝－； (2)如果函数f(x)对任意的h都有f(s＋h)＝f(s－h)，那么f(x)的图象关于直线x＝s对称. 要点一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|； (3)f(x)＝x2＋； (4)f(x)＝；[来源:学_科_网] (5)f(x)＝＋. 解　(1)函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数； (2)函数定义域为R，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以该函数是偶函数； (3)函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数； (4)函数定义域是{x|x≠－1}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数； (5)要使函数有意义，需满足解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f(x)＝0. 所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数． 规律方法　1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)还有如下性质可判定函数奇偶性： 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域) 2．判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果． 跟踪演练1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝(x2－1). 解　(1)函数定义域为R， 且f(－x)＝＝＝－f(x)． 故该函数是奇函数； (2)函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f(－x)＝＝＝f(x)．故f(x)是偶函数． (3)函数定义域是{x|x≥－1}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数． 要点二　函数奇偶性的简单应用 例2　(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于(　　) A．－3B．－1C．1D．3 (2)若函数f(x)＝x3＋3x＋a是奇函数，则实数a＝________. 答案　(1)A　(2)0 解析　(1)因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x， 所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3. 又f(x)是奇函数， 所以f(1)＝－f(－1)＝－3，选A. (2)方法一　因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立， 即－x3－3x＋a＝－x3－3x－a对任意x∈R都成立． 所以a＝0. 方法二　因为f(x)是奇函数且在x＝0处有定义． 必有f(0)＝0，即03＋3×0＋a＝0，解得a＝0. 规律方法　1.利用奇偶性求值时，主要根据f(x)与f(－x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化． 2．已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种方法：一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x＝0处有定义的奇函数，还可根据f(0)＝0求解． 跟踪演练2　(1)已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为(　　) A．5B．10C．8D．不确定 (2)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于(　　) A．－2B．－1C．1D．2 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)∵f