2.1.2 第1课时 指数函数的图象和性质（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（湘教版必修1）

2．1.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数的图象和性质 [学习目标]　1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质． [知识链接] 1．ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br. 其中a＞0，b＞0，r，s∈R. 2．在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为y＝2x，x∈{0,1,2，…}． [预习导引] 1．函数y＝ax叫作指数函数，其中a是不等于1的正实数，函数的定义域是R. 2．从图象可以“读”出的指数函数y＝ax(a＞1)的性质有： (1)图象总在x轴上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴(不包括原点)．由此，函数的值域是R＋； (2)图象恒过点(0,1)，用式子表示就是a0＝1； (3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递增函数，由此有：当x＞0时，有ax＞a0＝1；当x＜0时，有0＜ax＜a0＝1. 3．如果底数a∈(0,1)，那么，它的倒数＞1，y＝ax＝－x，它的图象和y＝x的图象关于y轴对称，可以类似地得到函数y＝ax(0＜a＜1)的性质：[来源:学科网] (1)图象总在x轴上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴(不包括原点)．由此，函数的值域是R＋； (2)图象恒过点(0,1)，用式子表示就是a0＝1； (3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递减函数，由此有：当x＞0时，有0＜ax＜a0＝1；当x＜0时，有ax＞a0＝1. 要点一　指数函数的概念 例1　给出下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．4 答案　B 解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数． 规律方法　1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件． 跟踪演练1　若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________________． 答案　{a|a＜，且a≠1} 解析　y＝(4－3a)x是指数函数，需满足： 解得a＜且a≠1. 故a的取值范围为{a|a＜，且a≠1}． 要点二　指数函数的图象 例2　如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 答案　B 解析　方法一　在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大． 由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1. ∴b＜a＜1＜d＜c. 方法二　作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B. 规律方法　1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． 2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响． 跟踪演练2　(1)函数y＝|2x－2|的图象是(　　) (2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 答案　(1)B　(2)(0，) 解析　(1)y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的． (2)当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜a＜1时，作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(2))．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜. 要点三　指数型函数的定义域、值域 例3　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝ 解　(1)由x－4≠0，得x≠4， 故y＝2的定义域