2.1.2 第2课时 指数函数的图象和性质的应用（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（湘教版必修1）

第2课时　指数函数的图象和性质的应用 [学习目标]　1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题． [知识链接] 1．函数y＝ax(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减． 2．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减． [预习导引] 1．函数y＝ax与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 2．形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 3．形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型． 4．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N). 要点一　利用指数函数的单调性比较大小 例1　比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与1.9－3；(2)0.7与0.70.3； (3)0.60.4与0.40.6. 解　(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3. (2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－≈0.268＜0.3，所以0.7＞0.70.3. (3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6. 规律方法　1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断． 2．对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．[来源:Zxxk.Com] 跟踪演练1　已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　　　　　　　　 B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 答案　D 解析　先由函数y＝0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小． 要点二　指数型函数的单调性 例2　判断f(x)＝的单调性，并求其值域． 解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜u≤－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]． 规律方法　1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 2．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性． 跟踪演练2　求函数y＝2的单调区间． 解　函数y＝2的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数y＝2的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]． 要点三　指数函数的综合应用 例3　已知函数f(x)＝. (1)证明f(x)为奇函数； (2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明； (3)求f(x)的值域．[来源:学|科|网] (1)证明　由题意知f(x)的定义域为R， f(－x)＝＝ ＝＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)解　f(x)在定义域上是增函数．证明如下： 任取x∈R，且h＞0， 则f(x＋h)－f(x)＝ －＝(1－)－(1－) ＝. ∵x＋h＞x，∴3x＋h－3x＞0， 且3x＋h＋1＞0,3x＋1＞0， ∴f(x＋h)－f(x)＞0， ∴f(x)为R上的增函数． (3)解　f(x)＝＝1－， ∵3x＞0⇒3x＋1＞1⇒0＜＜2⇒－2＜－＜0， ∴－1＜1－＜1， 即f(x)的值域为(－1,1)． 规律方法　指数函