2.2.1 对数的概念和运算律（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（湘教版必修1）

2．2　对数函数 2．2.1　对数的概念和运算律 [学习目标]　1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.4.掌握对数的运算性质及其推导.5.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明． [知识链接] 1．＝4,＝. 2．若2x＝8，则x＝3；若3x＝81，则x＝4.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 3．在指数的运算性质中： am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn. [预习导引] 1．对数的概念 如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数． 把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式： alogaN＝N，b＝logaab. 由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝1，loga1＝logaa0＝0.[来源:学科网] 2．对数的运算法则 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)loga＝logaM－logaN. 3．常用对数与自然对数 (1)以10为底的对数叫作常用对数，log10N记作lg_N. (2)以无理数e＝2.71828…为底的对数叫作自然对数．logeN通常记为lnN. 要点一　指数式与对数式的互化 例1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1； (4)log232＝－5；(5)lg0.001＝－3. 解　(1)log2＝－7. (2)log327＝a.[来源:Z.xx.k.Com] (3)lg0.1＝－1. (4)2－5＝32. (5)10－3＝0.001. 规律方法　1.解答此类问题的关键是要搞清a，x，N在指数式和对数式中的位置． 2．若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成指数式． 跟踪演练1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)log3x＝6；(2)lne＝1；(3)43＝64. 解　(1)36＝x. (2)e1＝e. (3)log464＝3. 要点二　对数式的计算与化简 例2　求下列各式的值： (1)； (2)2log32－log3＋log38－log5125； (3)log2＋log212－log242； (4)(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3. 解　(1)原式＝ ＝＝＝. (2)原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553 ＝2log32－5log32＋2＋3log32－3 ＝－1. (3)原式＝log2＝log22＝－. (4)原式＝(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2[来源:Z§xx§k.Com] ＝(lg2＋lg5)2＝1. 规律方法　1.进行对数式的计算与化简，主要依据是对数的运算法则，同时要注意结合对数恒等式、对数性质的应用． 2．应用对数的运算法则时，除了正用这些法则外，还要注意它们的逆用． 3．lg2＋lg5＝1，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2在计算和化简时经常使用，注意记忆． 4．在对数的运算和化简中提取公因式，因式分解等仍适用． 跟踪演练2　(1)已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，则等于(　　) A.　　　　B.　　　　C．10　　　　D．100 (2)计算下列各式的值： ①4lg2＋3lg5－lg； ②. (3)化简：. (1)答案　B 解析　由于lg＝lgb－lga＝1.4310－2.4310＝－1， ∴＝10－1＝，故选B. (2)解　①原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4. ②原式＝＝ ＝＝1. (3)解　方法一　原式＝ ＝＝. 方法二　(逆用公式)： 原式＝ ＝＝. 要点三　对数恒等式alogaN＝N的应用 例3　计算：31＋log35－24＋log23＋103lg3＋log25. 解　31＋log35－24＋log23＋103lg3＋log25 ＝3×3log35－24×2log23＋(10lg3)3＋(2log25)－1 ＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－. 规律方法　对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真