2.2.2 换底公式（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（湘教版必修1）

2.2.2　换底公式 [学习目标]　1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题． [预习导引] 1．对数的换底公式 换底公式：logaN＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)． 最常用的换底公式是logaN＝和logaN＝. 2．换底公式的两个重要推论[来源:学科网ZXXK] (1)logambn＝logab. (2)logab＝. 解决学生疑难点___________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ 要点一　利用换底公式求值或化简 例1　求解下列各题： (1)化简(log43＋log83)； (2)已知log1227＝a，求log616的值． 解　(1)方法一　原式＝ ＝· ＝·＋·＝＋＝. 方法二　原式＝(log223＋log233)·log32 ＝·log32＝log23·log32＝. (2)方法一　由log1227＝a，得＝a， ∴lg 2＝lg 3. ∴log616＝＝＝＝. 方法二　由于log1227＝log1233＝3log123＝a， ∴log123＝. 于是log312＝，即1＋2log32＝. 因此log32＝. 而log616＝4log62＝＝＝＝＝. 故log616＝. 规律方法　1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路： 一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底． 二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值． 三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logambn＝logab. 对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值． 2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用． 跟踪演练1　(1)求值：log89·log2732. (2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456. 解　(1)方法一　log89·log2732＝·＝·＝. 方法二　log89·log2732＝log2332·log3325 ＝log23·log32＝. (2)∵log23＝a，∴log37＝＝＝b. ∴log27＝ab. ∴log1456＝＝＝＝. 要点二　利用对数的换底公式证明等式 例2　已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.[来源:学科网ZXXK] 证明　不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1， 于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m. 则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，＝logm6， 于是＋＝2logm3＋logm4＝logm(32×4) ＝logm36＝2logm6＝. 因此等式成立． 规律方法　1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形． 2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝进行变换． 跟踪演练2　已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn. 证明　由已知可得m＝log210，n＝log510， 因此＝lg2，＝lg5， 于是＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1， 即＝1，故m＋n＝mn. 要点三　对数换底公式的综合应用 例3　(1)已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，求－的值； (2)设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．[来源:学+科+网Z+X+X+K] 解　(1)∵11.2a＝1000，∴lg11.2a＝lg1000， 即a·lg11.2＝3， 于是＝lg11.2. 同理可得＝lg0.0112. 于是－＝lg11.2－lg0.0112 ＝lg＝lg1000＝×3＝1. (2)由根与系数的关系可得 由换底公式可知 因此 所以＝＝ ＝＝±. 规律方法　对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)．解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从