2.2.3 第1课时 反函数及对数函数的图象和性质（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（湘教版必修1）

2.2.3　对数函数的图象和性质 第1课时　反函数及对数函数的图象和性质 [学习目标]　1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质． [知识链接] 1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法． 2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与性质. a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 [预习导引] 1．对数函数的概念 把函数y＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过点 过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 3.反函数 (1)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． (2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x). 要点一　对数函数的概念 例1　指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x；(2)y＝log6x； (3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1. 解　(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log2x后又加1，不是对数函数． 规律方法　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件 (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 跟踪演练1　若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定 答案　A 解析　设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2， ∴该对数函数的解析式为y＝log2x. 要点二　对数函数的图象 例2　如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，、，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为(　　) A.、、、 B.、、、 C.、、、 D.、、、 答案　A 解析　方法一　先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图低的底大，c1、c2对应的a分别为、.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时底大的图高，c3、c4对应的a分别为、.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、.故选A. 方法二　作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、，故选A. 规律方法　函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响． 观察图象，注意变化规律： (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时a越小，图象向右越靠近x轴． (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 跟踪演练2　(1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　) A．(1,2) B．(2,1) C．(－2,1) D．(－1,1) (2)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)令x＋2＝1，即x＝－1， 得y＝loga1＋1＝1， 故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1)． (2)作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1. 要点三　对数函数的定义域 例3　(1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是(　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f(x)＝，则