专题3.3 利用导数研究函数的最值、极值-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第三篇 导数及其应用 专题3.03　利用导数研究函数的极值、最值 【考点聚焦突破】 考点一　利用导数解决函数的极值问题　 角度1　根据函数图象判断函数极值 【例1－1】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【规律方法】　由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 角度2　已知函数求极值 【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【规律方法】　运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点. 角度3　已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f(x)＝ln x. (1)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围. 【规律方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1 (2)(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex. ①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a； ②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围. 考点二　利用导数求函数的最值 【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数. (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 【规律方法】　1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f(x)＝excos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 考点三　利用导数求解最优化问题 【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为 (1)求y关于v的函数关系式； (2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少. 【规律方法】 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： (1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答. 2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点. 【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆