专题3.4 导数在不等式中的应用-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第三篇 导数及其应用 专题3.04　导数在不等式中的应用 【考点聚焦突破】 考点一　构造函数证明不等式 【例1】 已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x. (1)证明：g(x)≥1； (2)证明：(x－ln x)f(x)>1－. 【规律方法】　 1.证明不等式的基本方法： (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论. (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m). 2.证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.先通过化简、变形，再移项构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决. 【训练1】 已知函数f(x)＝在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设g(x)＝ln x，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立. 考点二　利用“若f(x)min>g(x)max，则f(x)>g(x)”证明不等式 【例2】 已知函数f(x)＝xln x－ax. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>成立.－ 【规律方法】 1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题. 2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”. 【训练2】 已知三次函数f(x)的导函数f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xln x＋(a≥1). (1)求f(x)的极值； (2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2). 考点三　不等式恒成立或有解问题　 角度1　不等式恒成立求参数 【例3－1】 已知函数f(x)＝(x≠0). (1)判断函数f(x)在区间上的单调性； (2)若f(x)<a在区间上恒成立，求实数a的最小值. 【规律方法】 1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围. 2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围. 【训练3】 (2019·潍坊模拟)已知函数f(x)＝. (1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围； (2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围. 角度2　不等式能成立求参数的取值范围 【例3－2】 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R). (1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围； (2)函数g(x)＝(1－a)x，若∃x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围. 【规律方法】 1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法 a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min； a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max. 2.含全称、存在量词不等式能成立问题 (1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min. 【训练4】 已知函数f(x)＝m，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)<g(x0)成立，求实数m的取值范围.－2ln x(m∈R)，g(x)＝－ 【反思与感悟】 1.证明不等式的关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题. 2.恒(能)成立问题的转化策略.若f(x)在区间D上有最值，则 (1)恒成立：∀x∈D，f(x)>0⇔f(x)min>0； ∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)max<0. (2)能成立：∃x∈D，f(x)>0⇔f(x)max>0； ∃x∈D，f(x)<0⇔f(x)min<0. 【易错防范】 1.证明不等式，特别是含两个变量的不等式时，要注意合理的构造函数. 2.恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同. 【核心素养提升】 【逻辑推理】——两个经典不等式的活用 逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用