专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第四篇 三角函数与解三角形 专题4.01　角与弧度制、三角函数的概念 【考试要求】 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性； 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 【知识梳理】 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝° rad；1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝|α|r2lr＝ 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线. 【微点提醒】 1.若α∈，则tan α>α>sin α. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合 4.轴线角的集合 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.(　　) (3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　　) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(　　) 【教材衍化】 2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A.－ D. C.－ B. 3.(必修4P4例1改编)在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 【真题体验】 4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________. 6.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________. 【考点聚焦】 考点一　角的概念及其集合表示 【例1】 (1)若角α是第二象限角，则是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 (2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 【规律方法】　1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角. 2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断. 【训练1】 (1)设集合M＝，那么(　　) ，N＝ A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅ (2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________. 考点二　弧度制及其应用　 【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积. 【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【规律方法】　1.应用弧度制解决问题的方法： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. 2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量. 【训练2】 (一题多解)(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　) (弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 A.6平方米 B.9平方米 C.12平方米