专题2.3 函数的奇偶性与周期性-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第二篇 函数及其性质 专题2.03　函数的奇偶性与周期性 【考试要求】　 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义； 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义. 【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【微点提醒】 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(　　) 【教材衍化】 2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(　　) A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2－x 3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝＝________.则f 【真题体验】 4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.y＝x3 B.y＝x C.y＝|x| D.y＝|tan x| 5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________. 6.(2019·上海崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________. 【考点聚焦】 考点一　判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； ＋ (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 【规律方法】　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　) A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x C.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x (2)已知f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) ，g(x)＝ A.f(x)＋g(x)是偶函数 B.f(x)＋g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数 考点二　函数的周期性及其应用 【例2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A.－50 B.0 C.2 D.50 (2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴