专题2.4 幂函数与二次函数-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第二篇 函数及其性质 专题2.04 幂函数与二次函数 【考试要求】 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；，y＝x2，y＝ 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【微点提醒】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)<0. 时恒有f(x)>0，当 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数.(　　) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　) 【教材衍化】 2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A. D.2 B.1 C. 3.(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是________. 【真题体验】 4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，则(　　) ，c＝25，b＝3 A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是(　　) A.f(x)＝x2－2x＋1 B.f(x)＝x2－1 C.f(x)＝2x D.f(x)＝2x＋1 6.(2019·菏泽检测)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________. 【考点聚焦】 考点一　幂函数的图象和性质 【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　) (2)若a＝，则a，b，c的大小关系是(　　) ，c＝，b＝ A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 【规律方法】　1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【训练1】 (1)(2019·洛阳二模)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 (2)(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.， 考点二　二次函数的解析式 【例2】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 【规律方法】　求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 【训练2】 已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________. 考点三　二次函数的图象及应用 【例3】 (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) (2)设函数f(x)＝x