专题2.5 指数与指数函数-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第二篇 函数及其性质 专题2.05　指数与指数函数 【考试要求】 1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 【知识梳理】 1.根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：(＝|a|＝＝a，当n为偶数时，有意义)；当n为奇数时，)n＝a(a使 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝ (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【微点提醒】 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)(－1).(　　) ＝＝(－1) (3)函数y＝2x－1是指数函数.(　　) (4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　) 【教材衍化】 2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过， 则f(－1)＝(　　) A.1 B.2 C. D.3 3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　) A.y＝a(1＋p%)x(0<x<m) B.y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N) C.y＝a(1＋xp%)(0<x<m) D.y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N) 【真题体验】 4.(2018·晋中八校一模)设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) A.a D.a C.a B.a 5.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　) A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数 6.(2019·潍坊检测)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 【考点聚焦】 考点一　指数幂的运算 【例1】 化简下列各式： (1)－(0.01)0.5； ＋2－2· (2)(a>0，b>0). 【规律方法】　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简下列各式： (1)[(0.064－π0； －)－2.5] (2). ·b－3)b－1) ÷(4a·b－2·(－3a－a 考点二　指数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2019·镇海中学检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是(　　) A. B. C. D. (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________. 【规律方法】　 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【训练2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A.a>1，b<0 B.a