专题2.6 对数与对数函数-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第二篇 函数及其性质 专题2.06　对数与对数函数 【考试要求】 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)． 【知识梳理】 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 【微点提醒】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝logab. ；(2)logambn＝ 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x.(　　) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　) (3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　) (4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) 【教材衍化】 2.(必修1P73T3改编)已知a＝，b＝log2，则(　　) ，c＝log A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 3.(必修1P74A7改编)函数y＝的定义域是________. 【真题体验】 4.(2019·杭州检测)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　) A.0 B.2 C.4 D.6 5.(2019·上海静安区检测)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　) A.a>1，c>1 　　　 　 B.a>1，0<c<1 C.0<a<1，c>1 　　　　 D.0<a<1，0<c<1 6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________. 【考点聚焦】 考点一　对数的运算 【例1】 (1)计算：＝________.÷100－ (2)计算：＝________. 【规律方法】　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于(　　) A.1 B.0或 D.log23 C. (2)(2019·成都七中检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________. 考点二　对数函数的图象及应用　 【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　) (2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，2)