专题2.8 函数与方程-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第二篇 函数及其性质 专题2.08　函数与方程 【考试要求】　 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系； 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 【知识梳理】 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x) 在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 【微点提醒】 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).(　　) (2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　) 【教材衍化】 2.(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) －4 －2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 3.(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是(　　) A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点 【真题体验】 4.(2019·德州质检)若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1] D.[1，＋∞) 5.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数是________. 6.(2019·上海黄浦区月考)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________. 【考点聚焦】 考点一　函数零点所在区间的判定 【例1】 (1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) (2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________. 【规律方法】　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【训练1】 (1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞) (2)函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 考点二　确定函数零点的个数 【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2019·安庆二模)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在