专题1.4 基本不等式及其应用-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第一篇 集合与不等式 专题1.04　基本不等式及其应用 【考试要求】 1.掌握基本不等式(a，b≥0)；≤ 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的几何平均数.称为正数a，b的算术平均数， 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 【微点提醒】 1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.＋ 2.(a>0，b>0).≤≤≤ 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的.(　　) ≥ (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　) (4)x＞0且y＞0是≥2的充要条件.(　　) ＋ 【教材衍化】 2.(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　) A.9 B.18 C.36 D.81 3.(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋(　　) A.有最小值，且最小值为2 　 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 　 D.有最大值，且最大值为－2 【真题体验】 4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f(x)＝上的最小值为(　　) ，则f(x)在 A. C.－1 D.0 B. 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大. 6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________. 【考点聚焦】 考点一　利用基本不等式求最值　 角度1　利用配凑法求最值 【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________. (2)已知x<的最大值为______.，则f(x)＝4x－2＋ 角度2　利用常数代换法求最值 【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则的最小值为________.＋ 角度3　基本不等式积(ab)与和(a＋b)的转化　 【例1－3】 (经典母题)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________. 【迁移探究】 本例已知条件不变，求a＋b的最小值. 【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　　) A.2 B. C.4 D. (2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________. 考点二　基本不等式在实际问题中的应用 【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【规律方法】 　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件