专题1.5 从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第一篇 集合与不等式 专题1.05　从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 【考试要求】 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系； 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 【知识梳理】 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【微点提醒】 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[－].(　　) ， (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　) 【教材衍化】 2.(必修5P103A2改编)已知集合A＝，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　　) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2] D.[－2，2] 3.(必修5P80A2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________. 【真题体验】 4.(2018·烟台月考)不等式≥0的解集为(　　) A.[－2，1] B.(－2，1] C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<2}，则ab的值为(　　) A.1 B.－ C.4 D.－ 6.(2018·汉中调研)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是______. 【考点聚焦】 考点一　一元二次不等式的解法　 角度1　不含参数的不等式 【例1－1】 求不等式－2x2＋x＋3<0的解集. 角度2　含参数的不等式 命题点1　通过判别式分类讨论 【例1－2】 解关于x的不等式kx2－2x＋k<0(k∈R). 命题点2　通过根的大小分类讨论 【例1－3】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 【规律方法】　1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根. (4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3